Trigonometria Exemplos

$B = 71$ , $b = 74$ , $c = 44$

Etapa 1

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $C$ .

$\frac{\sin (C)}{44} = \frac{\sin (71)}{74}$

Etapa 3

Resolva a equação para $C$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $44$ .

$44 \frac{\sin (C)}{44} = 44 \frac{\sin (71)}{74}$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $44$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$44 \frac{\sin (C)}{44} = 44 \frac{\sin (71)}{74}$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (C) = 44 \frac{\sin (71)}{74}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $44 \frac{\sin (71)}{74}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Fatore $2$ de $44$ .

$\sin (C) = 2 (22) \frac{\sin (71)}{74}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Fatore $2$ de $74$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 22 \frac{\sin (71)}{2 \cdot 37}$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\sin (C) = 2 \cdot 22 \frac{\sin (71)}{2 \cdot 37}$

Etapa 3.2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\sin (C) = 22 \frac{\sin (71)}{37}$

Etapa 3.2.2.1.2

Combine $22$ e $\frac{\sin (71)}{37}$ .

$\sin (C) = \frac{22 \sin (71)}{37}$

Etapa 3.2.2.1.3

Avalie $\sin (71)$ .

$\sin (C) = \frac{22 \cdot 0.94551857}{37}$

Etapa 3.2.2.1.4

Multiplique $22$ por $0.94551857$ .

$\sin (C) = \frac{20.80140866}{37}$

Etapa 3.2.2.1.5

Divida $20.80140866$ por $37$ .

$\sin (C) = 0.56220023$

Etapa 3.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $C$ de dentro do seno.

$C = \arcsin (0.56220023)$

Etapa 3.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.1

Avalie $\arcsin (0.56220023)$ .

$C = 34.20809557$

Etapa 3.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$C = 180 - 34.20809557$

Etapa 3.6

Subtraia $34.20809557$ de $180$ .

$C = 145.79190442$

Etapa 3.7

A solução para a equação $C = 34.20809557$ .

$C = 34.20809557, 145.79190442$

Etapa 3.8

Exclua o ângulo inválido.

$C = 34.20809557$

Etapa 4

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$A + 34.20809557 + 71 = 180$

Etapa 5

Resolva a equação para $A$ .

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Etapa 5.1

Some $34.20809557$ e $71$ .

$A + 105.20809557 = 180$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $105.20809557$ dos dois lados da equação.

$A = 180 - 105.20809557$

Etapa 5.2.2

Subtraia $105.20809557$ de $180$ .

$A = 74.79190442$

Etapa 6

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Etapa 7

Resolva a equação.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Etapa 8

Substitua os valores conhecidos na equação.

$a = \sqrt{{(74)}^{2} + {(44)}^{2} - 2 \cdot 74 \cdot 44 \cos (74.79190442)}$

Etapa 9

Simplifique os resultados.

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Etapa 9.1

Eleve $74$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{5476 + {(44)}^{2} - 2 \cdot 74 \cdot (44 \cos (74.79190442))}$

Etapa 9.2

Eleve $44$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{5476 + 1936 - 2 \cdot 74 \cdot (44 \cos (74.79190442))}$

Etapa 9.3

Multiplique $- 2 \cdot 74 \cdot 44$ .

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Etapa 9.3.1

Multiplique $- 2$ por $74$ .

$a = \sqrt{5476 + 1936 - 148 \cdot (44 \cos (74.79190442))}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $- 148$ por $44$ .

$a = \sqrt{5476 + 1936 - 6512 \cos (74.79190442)}$

Etapa 9.4

Some $5476$ e $1936$ .

$a = \sqrt{7412 - 6512 \cos (74.79190442)}$

Etapa 9.5

Reescreva $7412 - 6512 \cos (74.79190442)$ como $2^{2} (1853 - 1628 \cos (74.79190442))$ .

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Etapa 9.5.1

Fatore $4$ de $7412$ .

$a = \sqrt{4 (1853) - 6512 \cos (74.79190442)}$

Etapa 9.5.2

Fatore $4$ de $- 6512 \cos (74.79190442)$ .

$a = \sqrt{4 (1853) + 4 (- 1628 \cos (74.79190442))}$

Etapa 9.5.3

Fatore $4$ de $4 (1853) + 4 (- 1628 \cos (74.79190442))$ .

$a = \sqrt{4 (1853 - 1628 \cos (74.79190442))}$

Etapa 9.5.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$a = \sqrt{2^{2} (1853 - 1628 \cos (74.79190442))}$

Etapa 9.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = 2 \sqrt{1853 - 1628 \cos (74.79190442)}$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 74.79190442$

$B = 71$

$C = 34.20809557$

$a = 2 \sqrt{1853 - 1628 \cos (74.79190442)}$

$b = 74$

$c = 44$