Trigonometria Exemplos

$b = 7$ , $c = 10$ , $A = 51$

Etapa 1

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Etapa 2

Resolva a equação.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$a = \sqrt{{(7)}^{2} + {(10)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cos (51)}$

Etapa 4

Simplifique os resultados.

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Etapa 4.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{49 + {(10)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot (10 \cos (51))}$

Etapa 4.2

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{49 + 100 - 2 \cdot 7 \cdot (10 \cos (51))}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 2 \cdot 7 \cdot 10$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$a = \sqrt{49 + 100 - 14 \cdot (10 \cos (51))}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 14$ por $10$ .

$a = \sqrt{49 + 100 - 140 \cos (51)}$

Etapa 4.4

Avalie $\cos (51)$ .

$a = \sqrt{49 + 100 - 140 \cdot 0.62932039}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 140$ por $0.62932039$ .

$a = \sqrt{49 + 100 - 88.10485474}$

Etapa 4.6

Some $49$ e $100$ .

$a = \sqrt{149 - 88.10485474}$

Etapa 4.7

Subtraia $88.10485474$ de $149$ .

$a = \sqrt{60.89514525}$

Etapa 4.8

Avalie a raiz.

$a = 7.80353415$

Etapa 5

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{7} = \frac{\sin (51)}{7.80353415}$

Etapa 7

Resolva a equação para $B$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados da equação por $7$ .

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (51)}{7.80353415}$

Etapa 7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (51)}{7.80353415}$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 7 \frac{\sin (51)}{7.80353415}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique $7 \frac{\sin (51)}{7.80353415}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Avalie $\sin (51)$ .

$\sin (B) = 7 (\frac{0.77714596}{7.80353415})$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $0.77714596$ por $7.80353415$ .

$\sin (B) = 7 \cdot 0.09958897$

Etapa 7.2.2.1.3

Multiplique $7$ por $0.09958897$ .

$\sin (B) = 0.69712281$

Etapa 7.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $B$ de dentro do seno.

$B = \arcsin (0.69712281)$

Etapa 7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.1

Avalie $\arcsin (0.69712281)$ .

$B = 44.19662079$

Etapa 7.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 44.19662079$

Etapa 7.6

Subtraia $44.19662079$ de $180$ .

$B = 135.8033792$

Etapa 7.7

A solução para a equação $B = 44.19662079$ .

$B = 44.19662079, 135.8033792$

Etapa 7.8

Exclua o ângulo inválido.

$B = 44.19662079$

Etapa 8

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$51 + C + 44.19662079 = 180$

Etapa 9

Resolva a equação para $C$ .

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Etapa 9.1

Some $51$ e $44.19662079$ .

$C + 95.19662079 = 180$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $95.19662079$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 95.19662079$

Etapa 9.2.2

Subtraia $95.19662079$ de $180$ .

$C = 84.8033792$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 51$

$B = 44.19662079$

$C = 84.8033792$

$a = 7.80353415$

$b = 7$

$c = 10$