Trigonometria Exemplos

$C = 127.5$ , $a = 6$ , $b = 10.74$

Etapa 1

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Etapa 2

Resolva a equação.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$c = \sqrt{{(6)}^{2} + {(10.74)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 10.74 \cos (127.5)}$

Etapa 4

Simplifique os resultados.

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Etapa 4.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{36 + {(10.74)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

Etapa 4.2

Eleve $10.74$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 2 \cdot 6 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 2 \cdot 6 \cdot 10.74$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 12 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 12$ por $10.74$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 \cos (127.5)}$

Etapa 4.4

O valor exato de $\cos (127.5)$ é $- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ .

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Etapa 4.4.1

Reescreva $127.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 \cos (\frac{255}{2})}$

Etapa 4.4.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}})}$

Etapa 4.4.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}})}$

Etapa 4.4.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}}$ .

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Etapa 4.4.4.1

O valor exato de $\cos (255)$ é $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 4.4.4.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{2}})}$

Etapa 4.4.4.1.2

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (30 + 45)}{2}})}$

Etapa 4.4.4.1.3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

Etapa 4.4.4.1.4

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

Etapa 4.4.4.1.5

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

Etapa 4.4.4.1.6

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (45))}{2}})}$

Etapa 4.4.4.1.7

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Etapa 4.4.4.1.8

Simplifique $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Etapa 4.4.4.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.4.1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 4.4.4.1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Etapa 4.4.4.1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Etapa 4.4.4.1.8.1.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Etapa 4.4.4.1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

Etapa 4.4.4.1.8.1.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 4.4.4.1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{2}})}$

Etapa 4.4.4.1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}{2}})}$

Etapa 4.4.4.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Etapa 4.4.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Etapa 4.4.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}}{2}})}$

Etapa 4.4.4.4

Reescreva $\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.4.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Etapa 4.4.4.4.2

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

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Etapa 4.4.4.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Etapa 4.4.4.4.2.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

Etapa 4.4.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}})}$

Etapa 4.4.4.6

Multiplique $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.4.4.6.1

Multiplique $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2}})}$

Etapa 4.4.4.6.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}})}$

Etapa 4.4.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$ como $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}})}$

Etapa 4.4.4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.4.8.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.4.4.8.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}})}$

Etapa 4.4.4.8.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}})}$

Etapa 4.4.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}})}$

Etapa 4.4.4.9

Multiplique $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- (\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}$

Etapa 4.4.4.10

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.4.10.1

Multiplique $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}$

Etapa 4.4.4.10.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

Etapa 4.4.4.10.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

Etapa 4.4.4.10.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

Etapa 4.4.4.10.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}$

Etapa 4.4.4.10.6

Some $1$ e $1$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}$

Etapa 4.4.4.10.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.4.4.10.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}$

Etapa 4.4.4.10.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}$

Etapa 4.4.4.10.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}$

Etapa 4.4.4.10.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.4.10.7.4.1

Cancele o fator comum.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}$

Etapa 4.4.4.10.7.4.2

Reescreva a expressão.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}$

Etapa 4.4.4.10.7.5

Avalie o expoente.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}$

Etapa 4.4.4.11

Combine usando a regra do produto para radicais.

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2})}$

Etapa 4.4.4.12

Multiplique $2$ por $2$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})$ .

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 128.88$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + 128.88 (\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})}$

Etapa 4.5.2

Combine $128.88$ e $\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + \frac{128.88 \sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}}$

Etapa 4.5.3

Multiplique $128.88$ por $\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + \frac{313.82869188}{4}}$

Etapa 4.6

Divida $313.82869188$ por $4$ .

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + 78.45717297}$

Etapa 4.7

Some $36$ e $115.3476$ .

$c = \sqrt{151.3476 + 78.45717297}$

Etapa 4.8

Some $151.3476$ e $78.45717297$ .

$c = \sqrt{229.80477297}$

Etapa 4.9

Avalie a raiz.

$c = 15.15931307$

Etapa 5

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $A$ .

$\frac{\sin (A)}{6} = \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

Etapa 7

Resolva a equação para $A$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados da equação por $6$ .

$6 \frac{\sin (A)}{6} = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

Etapa 7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$6 \frac{\sin (A)}{6} = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique $6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Avalie $\sin (127.5)$ .

$\sin (A) = 6 (\frac{0.79335334}{15.15931307})$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $0.79335334$ por $15.15931307$ .

$\sin (A) = 6 \cdot 0.05233438$

Etapa 7.2.2.1.3

Multiplique $6$ por $0.05233438$ .

$\sin (A) = 0.31400631$

Etapa 7.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $A$ de dentro do seno.

$A = \arcsin (0.31400631)$

Etapa 7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.1

Avalie $\arcsin (0.31400631)$ .

$A = 18.30083638$

Etapa 7.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$A = 180 - 18.30083638$

Etapa 7.6

Subtraia $18.30083638$ de $180$ .

$A = 161.69916361$

Etapa 7.7

A solução para a equação $A = 18.30083638$ .

$A = 18.30083638, 161.69916361$

Etapa 7.8

Exclua o ângulo inválido.

$A = 18.30083638$

Etapa 8

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$18.30083638 + 127.5 + B = 180$

Etapa 9

Resolva a equação para $B$ .

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Etapa 9.1

Some $18.30083638$ e $127.5$ .

$145.80083638 + B = 180$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $145.80083638$ dos dois lados da equação.

$B = 180 - 145.80083638$

Etapa 9.2.2

Subtraia $145.80083638$ de $180$ .

$B = 34.19916361$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 18.30083638$

$B = 34.19916361$

$C = 127.5$

$a = 6$

$b = 10.74$

$c = 15.15931307$