Trigonometria Exemplos

$c = 26$ , $b = 53$ , $B = 105$

Etapa 1

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $C$ .

$\frac{\sin (C)}{26} = \frac{\sin (105)}{53}$

Etapa 3

Resolva a equação para $C$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $26$ .

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $26$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $26 \frac{\sin (105)}{53}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

O valor exato de $\sin (105)$ é $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (75)}{53}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30 + 45)}{53}$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Etapa 3.2.2.1.1.4

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Etapa 3.2.2.1.1.5

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Etapa 3.2.2.1.1.6

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{53}$

Etapa 3.2.2.1.1.7

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Etapa 3.2.2.1.1.8

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.8.1.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Etapa 3.2.2.1.1.8.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Etapa 3.2.2.1.1.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{53}$

Etapa 3.2.2.1.1.8.1.2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{53}$

Etapa 3.2.2.1.1.8.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{53}$

Etapa 3.2.2.1.1.8.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{53}$

Etapa 3.2.2.1.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{53}$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sin (C) = 26 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53})$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53}$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ por $\frac{1}{53}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 53}$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Multiplique $4$ por $53$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

Etapa 3.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.4.1

Fatore $2$ de $26$ .

$\sin (C) = 2 (13) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

Etapa 3.2.2.1.4.2

Fatore $2$ de $212$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

Etapa 3.2.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

Etapa 3.2.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$\sin (C) = 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$

Etapa 3.2.2.1.5

Combine $13$ e $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$ .

$\sin (C) = \frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106}$

Etapa 3.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $C$ de dentro do seno.

$C = \arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$

Etapa 3.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.1

Avalie $\arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$ .

$C = 28.28452639$

Etapa 3.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$C = 180 - 28.28452639$

Etapa 3.6

Subtraia $28.28452639$ de $180$ .

$C = 151.7154736$

Etapa 3.7

A solução para a equação $C = 28.28452639$ .

$C = 28.28452639, 151.7154736$

Etapa 3.8

Exclua o ângulo inválido.

$C = 28.28452639$

Etapa 4

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$A + 28.28452639 + 105 = 180$

Etapa 5

Resolva a equação para $A$ .

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Etapa 5.1

Some $28.28452639$ e $105$ .

$A + 133.28452639 = 180$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $133.28452639$ dos dois lados da equação.

$A = 180 - 133.28452639$

Etapa 5.2.2

Subtraia $133.28452639$ de $180$ .

$A = 46.7154736$

Etapa 6

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Etapa 7

Resolva a equação.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Etapa 8

Substitua os valores conhecidos na equação.

$a = \sqrt{{(53)}^{2} + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot 26 \cos (46.7154736)}$

Etapa 9

Simplifique os resultados.

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Etapa 9.1

Eleve $53$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{2809 + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Etapa 9.2

Eleve $26$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Etapa 9.3

Multiplique $- 2 \cdot 53 \cdot 26$ .

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Etapa 9.3.1

Multiplique $- 2$ por $53$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 106 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $- 106$ por $26$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2756 \cos (46.7154736)}$

Etapa 9.4

Some $2809$ e $676$ .

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 46.7154736$

$B = 105$

$C = 28.28452639$

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

$b = 53$

$c = 26$