Trigonometria Exemplos

$C = 41$ , $B = 105$ , $b = 12.6$

Etapa 1

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $c$ .

$\frac{\sin (41)}{c} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Etapa 3

Resolva a equação para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Avalie $\sin (41)$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Etapa 3.1.2

O valor exato de $\sin (105)$ é $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (75)}{12.6}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (30 + 45)}{12.6}$

Etapa 3.1.2.3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Etapa 3.1.2.4

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Etapa 3.1.2.5

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Etapa 3.1.2.6

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{12.6}$

Etapa 3.1.2.7

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Etapa 3.1.2.8

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.8.1.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.8.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Etapa 3.1.2.8.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Etapa 3.1.2.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Etapa 3.1.2.8.1.2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Etapa 3.1.2.8.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Etapa 3.1.2.8.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Etapa 3.1.2.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Etapa 3.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{12.6}$

Etapa 3.1.4

Divida $1$ por $12.6$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$

Etapa 3.1.5

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Combine $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ e $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.\overline{079365}}{4}$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ por $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{0.30664311}{4}$

Etapa 3.1.6

Divida $0.30664311$ por $4$ .

$\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$c, 1$

Etapa 3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$c$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$ por $c$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$ por $c$ .

$\frac{0.65605902}{c} c = 0.07666077 c$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.65605902}{c} c = 0.07666077 c$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$0.65605902 = 0.07666077 c$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $0.07666077 c = 0.65605902$ .

$0.07666077 c = 0.65605902$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $0.07666077 c = 0.65605902$ por $0.07666077$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $0.07666077 c = 0.65605902$ por $0.07666077$ .

$\frac{0.07666077 c}{0.07666077} = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.07666077$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.07666077 c}{0.07666077} = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $c$ por $1$ .

$c = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Divida $0.65605902$ por $0.07666077$ .

$c = 8.55794879$

Etapa 4

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$A + 41 + 105 = 180$

Etapa 5

Resolva a equação para $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Some $41$ e $105$ .

$A + 146 = 180$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $146$ dos dois lados da equação.

$A = 180 - 146$

Etapa 5.2.2

Subtraia $146$ de $180$ .

$A = 34$

Etapa 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 7

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $a$ .

$\frac{\sin (34)}{a} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Etapa 8

Resolva a equação para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Avalie $\sin (34)$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Etapa 8.1.2

O valor exato de $\sin (105)$ é $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (75)}{12.6}$

Etapa 8.1.2.2

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (30 + 45)}{12.6}$

Etapa 8.1.2.3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Etapa 8.1.2.4

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Etapa 8.1.2.5

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Etapa 8.1.2.6

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{12.6}$

Etapa 8.1.2.7

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Etapa 8.1.2.8

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.8.1.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.8.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Etapa 8.1.2.8.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Etapa 8.1.2.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Etapa 8.1.2.8.1.2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Etapa 8.1.2.8.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Etapa 8.1.2.8.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Etapa 8.1.2.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Etapa 8.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{12.6}$

Etapa 8.1.4

Divida $1$ por $12.6$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$

Etapa 8.1.5

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.5.1

Combine $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ e $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.\overline{079365}}{4}$

Etapa 8.1.5.2

Multiplique $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ por $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{0.30664311}{4}$

Etapa 8.1.6

Divida $0.30664311$ por $4$ .

$\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$

Etapa 8.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$a, 1$

Etapa 8.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$a$

Etapa 8.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$ por $a$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$ por $a$ .

$\frac{0.5591929}{a} a = 0.07666077 a$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.5591929}{a} a = 0.07666077 a$

Etapa 8.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$0.5591929 = 0.07666077 a$

Etapa 8.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Reescreva a equação como $0.07666077 a = 0.5591929$ .

$0.07666077 a = 0.5591929$

Etapa 8.4.2

Divida cada termo em $0.07666077 a = 0.5591929$ por $0.07666077$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Divida cada termo em $0.07666077 a = 0.5591929$ por $0.07666077$ .

$\frac{0.07666077 a}{0.07666077} = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

Etapa 8.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.07666077$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.07666077 a}{0.07666077} = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

Etapa 8.4.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

Etapa 8.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.3.1

Divida $0.5591929$ por $0.07666077$ .

$a = 7.29438057$

Etapa 9

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 34$

$B = 105$

$C = 41$

$a = 7.29438057$

$b = 12.6$

$c = 8.55794879$