Trigonometria Exemplos

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = \frac{π}{6}$

Etapa 1

Substitua $\frac{π}{6}$ por $f (x)$ .

$\frac{π}{6} = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$ .

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$

Etapa 2.2

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6}$

Etapa 2.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6} - 1$

Etapa 2.4

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = \frac{π}{6} - 1$

Etapa 2.4.2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Subtraia $\frac{π}{6}$ dos dois lados da equação.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} = - 1$

Etapa 2.4.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0$

Etapa 2.4.3

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $6$ . Depois, simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (2 u) + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Etapa 2.4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 u + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Etapa 2.4.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$12 u - 12 u^{2} + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Etapa 2.4.3.2.3

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{6}$ para o numerador.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Etapa 2.4.3.2.3.2

Cancele o fator comum.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Etapa 2.4.3.2.3.3

Reescreva a expressão.

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 \cdot 1 = 0$

Etapa 2.4.3.2.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 = 0$

Etapa 2.4.3.3

Reordene $12 u$ e $- 12 u^{2}$ .

$- 12 u^{2} + 12 u - π + 6 = 0$

Etapa 2.4.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.5

Substitua os valores $a = - 12$ , $b = 12$ e $c = - π + 6$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot (- π + 6))}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.6.1.5

Multiplique $48$ por $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.6.1.6

Some $144$ e $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.6.2

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Etapa 2.4.6.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Etapa 2.4.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.7.1.5

Multiplique $48$ por $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.7.1.6

Some $144$ e $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.7.2

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Etapa 2.4.7.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Etapa 2.4.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Etapa 2.4.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.8.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.8.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.8.1.4

Multiplique $- 1$ por $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.8.1.5

Multiplique $48$ por $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.8.1.6

Some $144$ e $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 2.4.8.2

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Etapa 2.4.8.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Etapa 2.4.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$u = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Etapa 2.4.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Etapa 2.4.10

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Etapa 2.4.11

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

$\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Etapa 2.4.12

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.12.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Etapa 2.4.12.2

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Etapa 2.4.12.3

Remova os parênteses.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Etapa 2.4.12.4

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.12.4.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.4.12.4.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.4.12.4.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.4.12.4.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.4.12.5

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.4.13

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.13.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Etapa 2.4.13.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.13.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$ .

$x = - 0.2000451$

Etapa 2.4.13.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Etapa 2.4.13.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.13.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.2000451$

Etapa 2.4.13.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Etapa 2.4.13.4.3

Some $3.14159265$ e $0.2000451$ .

$x = 3.34163776$

Etapa 2.4.13.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.4.13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.4.13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.4.13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.4.13.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.13.6.1

Some $2 π$ com $- 0.2000451$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.2000451 + 2 π$

Etapa 2.4.13.6.2

Subtraia $0.2000451$ de $2 π$ .

$6.08314019$

Etapa 2.4.13.6.3

Liste os novos ângulos.

$x = 6.08314019$

Etapa 2.4.13.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.4.14

Liste todas as soluções.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$