Trigonometria Exemplos

$a = 28$ , $c = 32$ , $B = 30$

Etapa 1

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Etapa 2

Resolva a equação.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$b = \sqrt{{(28)}^{2} + {(32)}^{2} - 2 \cdot 28 \cdot 32 \cos (30)}$

Etapa 4

Simplifique os resultados.

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Etapa 4.1

Eleve $28$ à potência de $2$ .

$b = \sqrt{784 + {(32)}^{2} - 2 \cdot 28 \cdot (32 \cos (30))}$

Etapa 4.2

Eleve $32$ à potência de $2$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 - 2 \cdot 28 \cdot (32 \cos (30))}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 2 \cdot 28 \cdot 32$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 2$ por $28$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 - 56 \cdot (32 \cos (30))}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 56$ por $32$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 - 1792 \cos (30)}$

Etapa 4.4

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 - 1792 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $2$ de $- 1792$ .

$b = \sqrt{784 + 1024 + 2 (- 896) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

Etapa 4.5.2

Cancele o fator comum.

$b = \sqrt{784 + 1024 + 2 \cdot (- 896 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Etapa 4.5.3

Reescreva a expressão.

$b = \sqrt{784 + 1024 - 896 \sqrt{3}}$

Etapa 4.6

Some $784$ e $1024$ .

$b = \sqrt{1808 - 896 \sqrt{3}}$

Etapa 4.7

Reescreva $1808 - 896 \sqrt{3}$ como $4^{2} (113 - 56 \sqrt{3})$ .

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Etapa 4.7.1

Fatore $16$ de $1808$ .

$b = \sqrt{16 (113) - 896 \sqrt{3}}$

Etapa 4.7.2

Fatore $16$ de $- 896 \sqrt{3}$ .

$b = \sqrt{16 (113) + 16 (- 56 \sqrt{3})}$

Etapa 4.7.3

Fatore $16$ de $16 (113) + 16 (- 56 \sqrt{3})$ .

$b = \sqrt{16 (113 - 56 \sqrt{3})}$

Etapa 4.7.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$b = \sqrt{4^{2} (113 - 56 \sqrt{3})}$

Etapa 4.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$b = 4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$

Etapa 5

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $A$ .

$\frac{\sin (A)}{28} = \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7

Resolva a equação para $A$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados da equação por $28$ .

$28 \frac{\sin (A)}{28} = 28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $28$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$28 \frac{\sin (A)}{28} = 28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique $28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.2.2.1.1.1

Fatore $4$ de $28$ .

$\sin (A) = 4 (7) \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.1.2

Fatore $4$ de $4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 4 (7) \frac{\sin (30)}{4 (\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

Etapa 7.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\sin (A) = 4 \cdot 7 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 7 \frac{\sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Combine $7$ e $\frac{\sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.3

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = \frac{7 (\frac{1}{2})}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.4

Combine $7$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = \frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sin (A) = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.6

Multiplique $\frac{7}{2}$ por $\frac{1}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.7

Multiplique $\frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ por $\frac{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.8

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.2.1.8.1

Multiplique $\frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ por $\frac{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Etapa 7.2.2.1.8.2

Mova $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

Etapa 7.2.2.1.8.3

Eleve $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ à potência de $1$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

Etapa 7.2.2.1.8.4

Eleve $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ à potência de $1$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1})}$

Etapa 7.2.2.1.8.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.2.2.1.8.6

Some $1$ e $1$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{2}}$

Etapa 7.2.2.1.8.7

Reescreva ${\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{2}$ como $113 - 56 \sqrt{3}$ .

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Etapa 7.2.2.1.8.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ como ${(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {({(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.1.8.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.2.2.1.8.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.2.2.1.8.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.1.8.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.2.2.1.8.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{1}}$

Etapa 7.2.2.1.8.7.5

Simplifique.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})}$

Etapa 7.2.2.1.9

Multiplique $\frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})}$ por $\frac{113 + 56 \sqrt{3}}{113 + 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})} \cdot \frac{113 + 56 \sqrt{3}}{113 + 56 \sqrt{3}}$

Etapa 7.2.2.1.10

Multiplique $\frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})}$ por $\frac{113 + 56 \sqrt{3}}{113 + 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 (113 - 56 \sqrt{3}) (113 + 56 \sqrt{3})}$

Etapa 7.2.2.1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.2.1.11.1

Mova $113 - 56 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 ((113 - 56 \sqrt{3}) (113 + 56 \sqrt{3}))}$

Etapa 7.2.2.1.11.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 (12769 + 6328 \sqrt{3} - 6328 \sqrt{3} - 3136 {\sqrt{3}}^{2})}$

Etapa 7.2.2.1.11.3

Simplifique.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 \cdot 3361}$

Etapa 7.2.2.1.11.4

Multiplique $2$ por $3361$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{6722}$

Etapa 7.2.2.1.11.5

Agrupe $113 + 56 \sqrt{3}$ e $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = \frac{7 ((113 + 56 \sqrt{3}) \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}{6722}$

Etapa 7.2.2.1.12

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (A) = \frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}{6722}$

Etapa 7.2.2.1.13

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sin (A) = \frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{(113 - 56 \sqrt{3}) \cdot 3})}{6722}$

Etapa 7.2.2.1.14

Mova $3$ para a esquerda de $113 - 56 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = \frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3 (113 - 56 \sqrt{3})})}{6722}$

Etapa 7.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $A$ de dentro do seno.

$A = \arcsin (\frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3 (113 - 56 \sqrt{3})})}{6722})$

Etapa 7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.1

Avalie $\arcsin (\frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3 (113 - 56 \sqrt{3})})}{6722})$ .

$A = 61.02830255$

Etapa 7.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$A = 180 - 61.02830255$

Etapa 7.6

Subtraia $61.02830255$ de $180$ .

$A = 118.97169744$

Etapa 7.7

A solução para a equação $A = 61.02830255$ .

$A = 61.02830255, 118.97169744$

Etapa 8

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$61.02830255 + C + 30 = 180$

Etapa 9

Resolva a equação para $C$ .

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Etapa 9.1

Some $61.02830255$ e $30$ .

$C + 91.02830255 = 180$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $91.02830255$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 91.02830255$

Etapa 9.2.2

Subtraia $91.02830255$ de $180$ .

$C = 88.97169744$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 61.02830255$

$B = 30$

$C = 88.97169744$

$a = 28$

$b = 4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$

$c = 32$