Trigonometria Exemplos

$b = 1$ , $c = 2$ , $A = 150$

Etapa 1

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Etapa 2

Resolva a equação.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$a = \sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos (150)}$

Etapa 4

Simplifique os resultados.

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Etapa 4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$a = \sqrt{1 + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

Etapa 4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 2 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot (2 \cos (150))}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \cos (150)}$

Etapa 4.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \cos (30))}$

Etapa 4.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Etapa 4.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Etapa 4.6.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 (- 2) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Etapa 4.6.3

Cancele o fator comum.

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \cdot (- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Etapa 4.6.4

Reescreva a expressão.

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3})}$

Etapa 4.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \sqrt{3}}$

Etapa 4.7.2

Some $1$ e $4$ .

$a = \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}$

Etapa 5

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Etapa 7

Resolva a equação para $B$ .

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Etapa 7.1

Para que as duas funções sejam iguais, os argumentos de cada uma delas devem ser iguais.

$B = 150$

Etapa 7.2

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 150$

Etapa 7.3

Subtraia $150$ de $180$ .

$B = 30$

Etapa 7.4

A solução para a equação $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Etapa 7.5

Exclua as soluções que não tornam $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 8

Não há parâmetros suficientes para resolver o triângulo.

Triângulo desconhecido

Etapa 9

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 10

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Etapa 11

Resolva a equação para $B$ .

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Etapa 11.1

Para que as duas funções sejam iguais, os argumentos de cada uma delas devem ser iguais.

$B = 150$

Etapa 11.2

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 150$

Etapa 11.3

Subtraia $150$ de $180$ .

$B = 30$

Etapa 11.4

A solução para a equação $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Etapa 11.5

Exclua as soluções que não tornam $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 12

Não há parâmetros suficientes para resolver o triângulo.

Triângulo desconhecido

Etapa 13

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 14

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Etapa 15

Resolva a equação para $B$ .

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Etapa 15.1

Para que as duas funções sejam iguais, os argumentos de cada uma delas devem ser iguais.

$B = 150$

Etapa 15.2

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 150$

Etapa 15.3

Subtraia $150$ de $180$ .

$B = 30$

Etapa 15.4

A solução para a equação $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Etapa 15.5

Exclua as soluções que não tornam $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 16

Não há parâmetros suficientes para resolver o triângulo.

Triângulo desconhecido

Etapa 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 18

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Etapa 19

Resolva a equação para $B$ .

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Etapa 19.1

Para que as duas funções sejam iguais, os argumentos de cada uma delas devem ser iguais.

$B = 150$

Etapa 19.2

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 150$

Etapa 19.3

Subtraia $150$ de $180$ .

$B = 30$

Etapa 19.4

A solução para a equação $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Etapa 19.5

Exclua as soluções que não tornam $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 20

Não há parâmetros suficientes para resolver o triângulo.

Triângulo desconhecido

Etapa 21

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 22

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Etapa 23

Resolva a equação para $B$ .

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Etapa 23.1

Para que as duas funções sejam iguais, os argumentos de cada uma delas devem ser iguais.

$B = 150$

Etapa 23.2

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 150$

Etapa 23.3

Subtraia $150$ de $180$ .

$B = 30$

Etapa 23.4

A solução para a equação $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Etapa 23.5

Exclua as soluções que não tornam $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 24

Não há parâmetros suficientes para resolver o triângulo.

Triângulo desconhecido