Trigonometria Exemplos

$a = 8$ , $c = 10$ , $B = 128$

Etapa 1

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Etapa 2

Resolva a equação.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cos (128)}$

Etapa 4

Simplifique os resultados.

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Etapa 4.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$b = \sqrt{64 + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (128))}$

Etapa 4.2

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$b = \sqrt{64 + 100 - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (128))}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 2 \cdot 8 \cdot 10$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$b = \sqrt{64 + 100 - 16 \cdot (10 \cos (128))}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 16$ por $10$ .

$b = \sqrt{64 + 100 - 160 \cos (128)}$

Etapa 4.4

Avalie $\cos (128)$ .

$b = \sqrt{64 + 100 - 160 \cdot - 0.61566147}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 160$ por $- 0.61566147$ .

$b = \sqrt{64 + 100 + 98.50583605}$

Etapa 4.6

Some $64$ e $100$ .

$b = \sqrt{164 + 98.50583605}$

Etapa 4.7

Some $164$ e $98.50583605$ .

$b = \sqrt{262.50583605}$

Etapa 4.8

Avalie a raiz.

$b = 16.20203184$

Etapa 5

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $A$ .

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (128)}{16.20203184}$

Etapa 7

Resolva a equação para $A$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados da equação por $8$ .

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (128)}{16.20203184}$

Etapa 7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (128)}{16.20203184}$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (128)}{16.20203184}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique $8 \frac{\sin (128)}{16.20203184}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Avalie $\sin (128)$ .

$\sin (A) = 8 (\frac{0.78801075}{16.20203184})$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $0.78801075$ por $16.20203184$ .

$\sin (A) = 8 \cdot 0.04863653$

Etapa 7.2.2.1.3

Multiplique $8$ por $0.04863653$ .

$\sin (A) = 0.38909231$

Etapa 7.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $A$ de dentro do seno.

$A = \arcsin (0.38909231)$

Etapa 7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.1

Avalie $\arcsin (0.38909231)$ .

$A = 22.89803217$

Etapa 7.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$A = 180 - 22.89803217$

Etapa 7.6

Subtraia $22.89803217$ de $180$ .

$A = 157.10196782$

Etapa 7.7

A solução para a equação $A = 22.89803217$ .

$A = 22.89803217, 157.10196782$

Etapa 7.8

Exclua o ângulo inválido.

$A = 22.89803217$

Etapa 8

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$22.89803217 + C + 128 = 180$

Etapa 9

Resolva a equação para $C$ .

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Etapa 9.1

Some $22.89803217$ e $128$ .

$C + 150.89803217 = 180$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $150.89803217$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 150.89803217$

Etapa 9.2.2

Subtraia $150.89803217$ de $180$ .

$C = 29.10196782$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 22.89803217$

$B = 128$

$C = 29.10196782$

$a = 8$

$b = 16.20203184$

$c = 10$