Trigonometria Exemplos

$A = 70$ , $B = 15$ , $b = 23.1$

Etapa 1

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $a$ .

$\frac{\sin (70)}{a} = \frac{\sin (15)}{23.1}$

Etapa 3

Resolva a equação para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Avalie $\sin (70)$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (15)}{23.1}$

Etapa 3.1.2

O valor exato de $\sin (15)$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (45 - 30)}{23.1}$

Etapa 3.1.2.2

Separar negativação.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (45 - (30))}{23.1}$

Etapa 3.1.2.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{23.1}$

Etapa 3.1.2.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{23.1}$

Etapa 3.1.2.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{23.1}$

Etapa 3.1.2.6

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{23.1}$

Etapa 3.1.2.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Etapa 3.1.2.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Etapa 3.1.2.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Etapa 3.1.2.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Etapa 3.1.2.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Etapa 3.1.2.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{23.1}$

Etapa 3.1.2.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{23.1}$

Etapa 3.1.2.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{23.1}$

Etapa 3.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{23.1}$

Etapa 3.1.4

Divida $1$ por $23.1$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.\overline{043290}$

Etapa 3.1.5

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.\overline{043290}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Combine $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ e $0.\overline{043290}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 0.\overline{043290}}{4}$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ por $0.\overline{043290}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{0.04481715}{4}$

Etapa 3.1.6

Divida $0.04481715$ por $4$ .

$\frac{0.93969262}{a} = 0.01120428$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$a, 1$

Etapa 3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$a$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.93969262}{a} = 0.01120428$ por $a$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.93969262}{a} = 0.01120428$ por $a$ .

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.01120428 a$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.01120428 a$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$0.93969262 = 0.01120428 a$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $0.01120428 a = 0.93969262$ .

$0.01120428 a = 0.93969262$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $0.01120428 a = 0.93969262$ por $0.01120428$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $0.01120428 a = 0.93969262$ por $0.01120428$ .

$\frac{0.01120428 a}{0.01120428} = \frac{0.93969262}{0.01120428}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.01120428$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.01120428 a}{0.01120428} = \frac{0.93969262}{0.01120428}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{0.93969262}{0.01120428}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Divida $0.93969262$ por $0.01120428$ .

$a = 83.86901949$

Etapa 4

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$70 + C + 15 = 180$

Etapa 5

Resolva a equação para $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Some $70$ e $15$ .

$C + 85 = 180$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $85$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 85$

Etapa 5.2.2

Subtraia $85$ de $180$ .

$C = 95$

Etapa 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 7

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $c$ .

$\frac{\sin (95)}{c} = \frac{\sin (70)}{83.86901949}$

Etapa 8

Resolva a equação para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Avalie $\sin (95)$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (70)}{83.86901949}$

Etapa 8.1.2

Avalie $\sin (70)$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{0.93969262}{83.86901949}$

Etapa 8.1.3

Divida $0.93969262$ por $83.86901949$ .

$\frac{0.99619469}{c} = 0.01120428$

Etapa 8.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$c, 1$

Etapa 8.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$c$

Etapa 8.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.99619469}{c} = 0.01120428$ por $c$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.99619469}{c} = 0.01120428$ por $c$ .

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.01120428 c$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum de $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.01120428 c$

Etapa 8.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$0.99619469 = 0.01120428 c$

Etapa 8.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Reescreva a equação como $0.01120428 c = 0.99619469$ .

$0.01120428 c = 0.99619469$

Etapa 8.4.2

Divida cada termo em $0.01120428 c = 0.99619469$ por $0.01120428$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Divida cada termo em $0.01120428 c = 0.99619469$ por $0.01120428$ .

$\frac{0.01120428 c}{0.01120428} = \frac{0.99619469}{0.01120428}$

Etapa 8.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.01120428$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.01120428 c}{0.01120428} = \frac{0.99619469}{0.01120428}$

Etapa 8.4.2.2.1.2

Divida $c$ por $1$ .

$c = \frac{0.99619469}{0.01120428}$

Etapa 8.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.3.1

Divida $0.99619469$ por $0.01120428$ .

$c = 88.91191726$

Etapa 9

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 70$

$B = 15$

$C = 95$

$a = 83.86901949$

$b = 23.1$

$c = 88.91191726$