Trigonometria Exemplos

$a = 7$ , $b = 9$ , $C = 60$

Etapa 1

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Etapa 2

Resolva a equação.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$c = \sqrt{{(7)}^{2} + {(9)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cos (60)}$

Etapa 4

Simplifique os resultados.

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Etapa 4.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{49 + {(9)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot (9 \cos (60))}$

Etapa 4.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{49 + 81 - 2 \cdot 7 \cdot (9 \cos (60))}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 2 \cdot 7 \cdot 9$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$c = \sqrt{49 + 81 - 14 \cdot (9 \cos (60))}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 14$ por $9$ .

$c = \sqrt{49 + 81 - 126 \cos (60)}$

Etapa 4.4

O valor exato de $\cos (60)$ é $\frac{1}{2}$ .

$c = \sqrt{49 + 81 - 126 (\frac{1}{2})}$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $2$ de $- 126$ .

$c = \sqrt{49 + 81 + 2 (- 63) (\frac{1}{2})}$

Etapa 4.5.2

Cancele o fator comum.

$c = \sqrt{49 + 81 + 2 \cdot (- 63 (\frac{1}{2}))}$

Etapa 4.5.3

Reescreva a expressão.

$c = \sqrt{49 + 81 - 63}$

Etapa 4.6

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.6.1

Some $49$ e $81$ .

$c = \sqrt{130 - 63}$

Etapa 4.6.2

Subtraia $63$ de $130$ .

$c = \sqrt{67}$

Etapa 5

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $A$ .

$\frac{\sin (A)}{7} = \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$

Etapa 7

Resolva a equação para $A$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados da equação por $7$ .

$7 \frac{\sin (A)}{7} = 7 \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$

Etapa 7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$7 \frac{\sin (A)}{7} = 7 \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 7 \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique $7 \frac{\sin (60)}{\sqrt{67}}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

O valor exato de $\sin (60)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (A) = 7 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{67}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{67}})$

Etapa 7.2.2.1.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{67}}$ por $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{1}{\sqrt{67}} \cdot \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}))$

Etapa 7.2.2.1.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.2.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{67}}$ por $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}})$

Etapa 7.2.2.1.4.2

Eleve $\sqrt{67}$ à potência de $1$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1} \sqrt{67}})$

Etapa 7.2.2.1.4.3

Eleve $\sqrt{67}$ à potência de $1$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1} {\sqrt{67}}^{1}})$

Etapa 7.2.2.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1 + 1}})$

Etapa 7.2.2.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{2}})$

Etapa 7.2.2.1.4.6

Reescreva ${\sqrt{67}}^{2}$ como $67$ .

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Etapa 7.2.2.1.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{67}$ como $67^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{{(67^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 7.2.2.1.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 7.2.2.1.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 7.2.2.1.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.1.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 7.2.2.1.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67^{1}})$

Etapa 7.2.2.1.4.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (A) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67})$

Etapa 7.2.2.1.5

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{67}}{67}$ .

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Etapa 7.2.2.1.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{67}}{67}$ .

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{2 \cdot 67}$

Etapa 7.2.2.1.5.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{3 \cdot 67}}{2 \cdot 67}$

Etapa 7.2.2.1.5.3

Multiplique $3$ por $67$ .

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{201}}{2 \cdot 67}$

Etapa 7.2.2.1.5.4

Multiplique $2$ por $67$ .

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{201}}{134}$

Etapa 7.2.2.1.6

Combine $7$ e $\frac{\sqrt{201}}{134}$ .

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{201}}{134}$

Etapa 7.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $A$ de dentro do seno.

$A = \arcsin (\frac{7 \sqrt{201}}{134})$

Etapa 7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.1

Avalie $\arcsin (\frac{7 \sqrt{201}}{134})$ .

$A = 47.78365116$

Etapa 7.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$A = 180 - 47.78365116$

Etapa 7.6

Subtraia $47.78365116$ de $180$ .

$A = 132.21634883$

Etapa 7.7

A solução para a equação $A = 47.78365116$ .

$A = 47.78365116, 132.21634883$

Etapa 7.8

Exclua o ângulo inválido.

$A = 47.78365116$

Etapa 8

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$47.78365116 + 60 + B = 180$

Etapa 9

Resolva a equação para $B$ .

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Etapa 9.1

Some $47.78365116$ e $60$ .

$107.78365116 + B = 180$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $107.78365116$ dos dois lados da equação.

$B = 180 - 107.78365116$

Etapa 9.2.2

Subtraia $107.78365116$ de $180$ .

$B = 72.21634883$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 47.78365116$

$B = 72.21634883$

$C = 60$

$a = 7$

$b = 9$

$c = \sqrt{67}$