Trigonometria Exemplos

$(8, 12)$ , $(- 10, - 15)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 \cdot - 10 + 12 \cdot - 15$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $8$ por $- 10$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 80 + 12 \cdot - 15$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $12$ por $- 15$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 80 - 180$

Etapa 2.2.2

Subtraia $180$ de $- 80$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 260$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{8^{2} + 12^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 12^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 144}$

Etapa 3.2.3

Some $64$ e $144$ .

$| a⃗ | = \sqrt{208}$

Etapa 3.2.4

Reescreva $208$ como $4^{2} \cdot 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Fatore $16$ de $208$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 (13)}$

Etapa 3.2.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2} \cdot 13}$

Etapa 3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| a⃗ | = 4 \sqrt{13}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(- 15)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{100 + {(- 15)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $- 15$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{100 + 225}$

Etapa 4.2.3

Some $100$ e $225$ .

$| b⃗ | = \sqrt{325}$

Etapa 4.2.4

Reescreva $325$ como $5^{2} \cdot 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Fatore $25$ de $325$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 (13)}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 13}$

Etapa 4.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| b⃗ | = 5 \sqrt{13}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 260}{4 \sqrt{13} (5 \sqrt{13})})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $- 260$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $4$ de $- 260$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 65}{4 \sqrt{13} (5 \sqrt{13})})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{13} (5 \sqrt{13})$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 65}{4 (\sqrt{13} (5 \sqrt{13}))})$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 65}{4 (\sqrt{13} (5 \sqrt{13}))})$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{- 65}{\sqrt{13} (5 \sqrt{13})})$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $- 65$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $5$ de $- 65$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 13}{\sqrt{13} (5 \sqrt{13})})$

Etapa 6.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $5$ de $\sqrt{13} (5 \sqrt{13})$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 13}{5 (\sqrt{13} (\sqrt{13}))})$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 13}{5 (\sqrt{13} (\sqrt{13}))})$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{13} (\sqrt{13})})$

Etapa 6.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}})$

Etapa 6.3.2

Eleve $\sqrt{13}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}})$

Etapa 6.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.3.4

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{{\sqrt{13}}^{2}})$

Etapa 6.4

Reescreva ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{13^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{13^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{13^{1}})$

Etapa 6.4.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{13})$

Etapa 6.5

Divida $- 13$ por $13$ .

$θ = \arccos (- 1)$

Etapa 6.6

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $180$ .

$θ = 180$