Trigonometria Exemplos

$(- 4, 4)$ , $(- 1, 10)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot 10$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 + 4 \cdot 10$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $4$ por $10$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 + 40$

Etapa 2.2.2

Some $4$ e $40$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 4^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 4^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 16}$

Etapa 3.2.3

Some $16$ e $16$ .

$| a⃗ | = \sqrt{32}$

Etapa 3.2.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 (2)}$

Etapa 3.2.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Etapa 3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| a⃗ | = 4 \sqrt{2}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 10^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 10^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 100}$

Etapa 4.2.3

Some $1$ e $100$ .

$| b⃗ | = \sqrt{101}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{44}{4 \sqrt{2} \sqrt{101}})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $44$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $4$ de $44$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot 11}{4 \sqrt{2} \sqrt{101}})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{2} \sqrt{101}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot 11}{4 (\sqrt{2} \sqrt{101})})$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot 11}{4 (\sqrt{2} \sqrt{101})})$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{11}{\sqrt{2} \sqrt{101}})$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arccos (\frac{11}{\sqrt{2 \cdot 101}})$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $101$ .

$θ = \arccos (\frac{11}{\sqrt{202}})$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{11}{\sqrt{202}}$ por $\frac{\sqrt{202}}{\sqrt{202}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11}{\sqrt{202}} \cdot \frac{\sqrt{202}}{\sqrt{202}})$

Etapa 6.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{11}{\sqrt{202}}$ por $\frac{\sqrt{202}}{\sqrt{202}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{\sqrt{202} \sqrt{202}})$

Etapa 6.4.2

Eleve $\sqrt{202}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{{\sqrt{202}}^{1} \sqrt{202}})$

Etapa 6.4.3

Eleve $\sqrt{202}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{{\sqrt{202}}^{1} {\sqrt{202}}^{1}})$

Etapa 6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{{\sqrt{202}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{{\sqrt{202}}^{2}})$

Etapa 6.4.6

Reescreva ${\sqrt{202}}^{2}$ como $202$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{202}$ como $202^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{{(202^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{202^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{202^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{202^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{202^{1}})$

Etapa 6.4.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{202})$

Etapa 6.5

Avalie $\arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{202})$ .

$θ = 39.28940686$