Trigonometria Exemplos

$(- 2, 0)$ , $(1, 7)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

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Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $0$ por $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

Etapa 2.2.2

Some $- 2$ e $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

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Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}$

Etapa 3.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}$

Etapa 3.2.3

Some $4$ e $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4}$

Etapa 3.2.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}$

Etapa 3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| a⃗ | = 2$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

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Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}$

Etapa 4.2.3

Some $1$ e $49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{50}$

Etapa 4.2.4

Reescreva $50$ como $5^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Fatore $25$ de $50$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Etapa 4.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.2.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

Etapa 6.1.2.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{5 \sqrt{2}})$

Etapa 6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$θ = \arccos (- \frac{1}{5 \sqrt{2}})$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Etapa 6.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

Etapa 6.4.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

Etapa 6.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

Etapa 6.4.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

Etapa 6.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.4.6

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}})$

Etapa 6.4.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 6.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}})$

Etapa 6.4.7.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2})$

Etapa 6.5

Multiplique $5$ por $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$

Etapa 6.6

Avalie $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$ .

$θ = 98.13010235$