Trigonometria Exemplos

(2, \sqrt{3})

$(2, \sqrt{3})$ ,

(- 4, 2 \sqrt{3})

$(- 4, 2 \sqrt{3})$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique

2

$2$ por

- 4

$- 4$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique

\sqrt{3} (2 \sqrt{3})

$\sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Eleve

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ à potência de

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Etapa 2.2.1.2.2

Eleve

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ à potência de

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Etapa 2.2.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Etapa 2.2.1.2.4

Some

1

$1$ e

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{2}

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{2}$

a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{2}

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{2}$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ como

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ como

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.2.1.3.3

Combine

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.2.1.3.4

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{1}$

Etapa 2.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 6$

Etapa 2.2.2

Some

$- 8$ e

$6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

Etapa 3

Encontre a magnitude de

$a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Reescreva

${\sqrt{3}}^{2}$ como

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{3}$ como

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.2.2.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{1}}$

Etapa 3.2.2.5

Avalie o expoente.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3}$

Etapa 3.2.3

Some

$4$ e

$3$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de

$b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve

$- 4$ à potência de

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra do produto a

$2 \sqrt{3}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.2.4

Reescreva

${\sqrt{3}}^{2}$ como

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{3}$ como

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.4.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{1}}$

Etapa 4.2.4.5

Avalie o expoente.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3}$

Etapa 4.2.5

Multiplique

$4$ por

$3$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 12}$

Etapa 4.2.6

Some

$16$ e

$12$ .

$| b⃗ | = \sqrt{28}$

Etapa 4.2.7

Reescreva

$28$ como

$2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

Fatore

$4$ de

$28$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (7)}$

Etapa 4.2.7.2

Reescreva

$4$ como

$2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Etapa 4.2.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{7}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de

$- 2$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore

$2$ de

$- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore

$2$ de

$\sqrt{7} (2 \sqrt{7})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{7} (\sqrt{7})})$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Eleve

$\sqrt{7}$ à potência de

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})$

Etapa 6.2.2

Eleve

$\sqrt{7}$ à potência de

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})$

Etapa 6.2.3

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.2.4

Some

$1$ e

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{2}})$

Etapa 6.3

Reescreva

${\sqrt{7}}^{2}$ como

$7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{7}$ como

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.3.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.3.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.3.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{1}})$

Etapa 6.3.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7})$

Etapa 6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$θ = \arccos (- \frac{1}{7})$

Etapa 6.5

Avalie

$\arccos (- \frac{1}{7})$ .

$θ = 98.2132107$