Trigonometria Exemplos

$(2, \sqrt{3})$ , $(- 4, 2 \sqrt{3})$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $\sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Etapa 2.2.1.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Etapa 2.2.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Etapa 2.2.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{2}$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{1}$

Etapa 2.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 6$

Etapa 2.2.2

Some $- 8$ e $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{1}}$

Etapa 3.2.2.5

Avalie o expoente.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3}$

Etapa 3.2.3

Some $4$ e $3$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.2.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{1}}$

Etapa 4.2.4.5

Avalie o expoente.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3}$

Etapa 4.2.5

Multiplique $4$ por $3$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 12}$

Etapa 4.2.6

Some $16$ e $12$ .

$| b⃗ | = \sqrt{28}$

Etapa 4.2.7

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

Fatore $4$ de $28$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (7)}$

Etapa 4.2.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Etapa 4.2.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{7}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore $2$ de $\sqrt{7} (2 \sqrt{7})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{7} (\sqrt{7})})$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})$

Etapa 6.2.2

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})$

Etapa 6.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.2.4

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{2}})$

Etapa 6.3

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.3.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{1}})$

Etapa 6.3.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7})$

Etapa 6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$θ = \arccos (- \frac{1}{7})$

Etapa 6.5

Avalie $\arccos (- \frac{1}{7})$ .

$θ = 98.2132107$