Trigonometria Exemplos

$(1, \frac{5}{3})$ , $(1, - 8)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

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Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $\frac{5}{3} \cdot - 8$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Combine $\frac{5}{3}$ e $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $5$ por $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

Etapa 2.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

Etapa 2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Etapa 2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

Etapa 2.2.4

Subtraia $40$ de $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

Etapa 2.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

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Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{3}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 3.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

Etapa 3.2.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

Etapa 3.2.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

Etapa 3.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

Etapa 3.2.7

Some $9$ e $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

Etapa 3.2.8

Reescreva $\sqrt{\frac{34}{9}}$ como $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

Etapa 3.2.9

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.9.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 3.2.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

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Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

Etapa 4.2.3

Some $1$ e $64$ .

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Etapa 6.2

Combine $\frac{\sqrt{34}}{3}$ e $\sqrt{65}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

Etapa 6.3.2

Multiplique $34$ por $65$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

Etapa 6.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

Etapa 6.5

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{2210}}$ por $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{37}{3}$ para o numerador.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Etapa 6.6.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Etapa 6.6.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

Etapa 6.7

Combine $- 37$ e $\frac{1}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

Etapa 6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

Etapa 6.9

Multiplique $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ por $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

Etapa 6.10

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.10.1

Multiplique $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ por $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

Etapa 6.10.2

Eleve $\sqrt{2210}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

Etapa 6.10.3

Eleve $\sqrt{2210}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

Etapa 6.10.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.10.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

Etapa 6.10.6

Reescreva ${\sqrt{2210}}^{2}$ como $2210$ .

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Etapa 6.10.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2210}$ como $2210^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.10.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.10.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.10.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.10.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.10.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

Etapa 6.10.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

Etapa 6.11

Avalie $\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ .

$θ = 141.91122711$