Trigonometria Exemplos

$(0, - 8)$ , $(5, - 4)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

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Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 \cdot 5 - 8 \cdot - 4$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $0$ por $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 8 \cdot - 4$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 8$ por $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 32$

Etapa 2.2.2

Some $0$ e $32$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 32$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

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Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + {(- 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 64}$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64}$

Etapa 3.2.4

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{8^{2}}$

Etapa 3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| a⃗ | = 8$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

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Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 16}$

Etapa 4.2.3

Some $25$ e $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{41}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{32}{8 \sqrt{41}})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $32$ e $8$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $8$ de $32$ .

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 4}{8 \sqrt{41}})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $8$ de $8 \sqrt{41}$ .

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 4}{8 (\sqrt{41})})$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 4}{8 \sqrt{41}})$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{41}})$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{41}}$ por $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}})$

Etapa 6.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{41}}$ por $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

Etapa 6.3.2

Eleve $\sqrt{41}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}})$

Etapa 6.3.3

Eleve $\sqrt{41}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}})$

Etapa 6.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.3.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}})$

Etapa 6.3.6

Reescreva ${\sqrt{41}}^{2}$ como $41$ .

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Etapa 6.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{41}$ como $41^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{41}}{41^{1}})$

Etapa 6.3.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{41}}{41})$

Etapa 6.4

Avalie $\arccos (\frac{4 \sqrt{41}}{41})$ .

$θ = 51.34019174$