Trigonometria Exemplos

$h (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 1

Use a forma $a \sin (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 40$

$b = \frac{5 π}{4}$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 55$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $40$

Etapa 3

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o período de $40 \sin (\frac{5 π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 3.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.1.2

Substitua $b$ por $\frac{5 π}{4}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{5 π}{4} |}$

Etapa 3.1.3

$\frac{5 π}{4}$ é aproximadamente $3.92699081$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{5 π}{4}}$

Etapa 3.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{4}{5 π}$

Etapa 3.1.5

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 3.1.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{5 π}$

Etapa 3.1.5.2

Fatore $π$ de $5 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

Etapa 3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

Etapa 3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{4}{5})$

Etapa 3.1.6

Combine $2$ e $\frac{4}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{5}$

Etapa 3.1.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8}{5}$

Etapa 3.2

Encontre o período de $55$ .

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Etapa 3.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.2

Substitua $b$ por $\frac{5 π}{4}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{5 π}{4} |}$

Etapa 3.2.3

$\frac{5 π}{4}$ é aproximadamente $3.92699081$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{5 π}{4}}$

Etapa 3.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{4}{5 π}$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{5 π}$

Etapa 3.2.5.2

Fatore $π$ de $5 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

Etapa 3.2.5.3

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

Etapa 3.2.5.4

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{4}{5})$

Etapa 3.2.6

Combine $2$ e $\frac{4}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{5}$

Etapa 3.2.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8}{5}$

Etapa 3.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$\frac{8}{5}$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{\frac{π}{2}}{\frac{5 π}{4}}$

Etapa 4.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{5 π}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $π$ de $5 π$ .

Mudança de fase: $\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{π \cdot 5}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum.

Mudança de fase: $\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{π \cdot 5}$

Etapa 4.4.3

Reescreva a expressão.

Mudança de fase: $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

Mudança de fase: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{5}$

Etapa 4.5.2

Cancele o fator comum.

Mudança de fase: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{5}$

Etapa 4.5.3

Reescreva a expressão.

Mudança de fase: $\frac{2}{5}$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $40$

Período: $\frac{8}{5}$

Mudança de fase: $\frac{2}{5}$ ( $\frac{2}{5}$ para a direita)

Deslocamento vertical: $55$

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

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Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = \frac{8}{5}$ .

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Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{8}{5}$ na expressão.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{5 π (\frac{8}{5})}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1.1.1

Combine $\frac{8}{5}$ e $5$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{8 \cdot 5}{5} \cdot π}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.1.1.2

Combine $\frac{8 \cdot 5}{5}$ e $π$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{8 \cdot (5 π)}{5}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.1.2

Multiplique $8$ por $5$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{40 π}{5}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.1.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.1.2.1.1.3.1

Reduza a expressão $\frac{40 π}{5}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1.3.1.1

Fatore $5$ de $40 π$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{5 (8 π)}{5}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.1.3.1.2

Fatore $5$ de $5$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{5 (8 π)}{5 (1)}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.1.3.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{5 (8 π)}{5 \cdot 1}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.1.3.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{8 π}{1}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.1.3.2

Divida $8 π$ por $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{8 π}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

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Etapa 6.1.2.1.1.4.1

Fatore $4$ de $8 π$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 (2 π)}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.2.1.1.4.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{2 π}{1} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.1.4.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (2 π - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.3

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 π - π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.5.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{3 π}{2}) + 55$

Etapa 6.1.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{8}{5}) = 40 (- \sin (\frac{π}{2})) + 55$

Etapa 6.1.2.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 (- 1 \cdot 1) + 55$

Etapa 6.1.2.1.8

Multiplique $40 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 6.1.2.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \cdot - 1 + 55$

Etapa 6.1.2.1.8.2

Multiplique $40$ por $- 1$ .

$f (\frac{8}{5}) = - 40 + 55$

Etapa 6.1.2.2

Some $- 40$ e $55$ .

$f (\frac{8}{5}) = 15$

Etapa 6.1.2.3

A resposta final é $15$ .

$15$

Etapa 6.2

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{8}{5} & 15 \\ \frac{16}{5} & 15 \\ \frac{24}{5} & 15 \\ \frac{32}{5} & 15 \\ 8 & 15 \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $40$

Período: $\frac{8}{5}$

Mudança de fase: $\frac{2}{5}$ ( $\frac{2}{5}$ para a direita)

Deslocamento vertical: $55$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{8}{5} & 15 \\ \frac{16}{5} & 15 \\ \frac{24}{5} & 15 \\ \frac{32}{5} & 15 \\ 8 & 15 \end{array}$

Etapa 8