Trigonometria Exemplos

$h (x) = 2 {(x - 3)}^{2} + 4$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 1.1

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 2$

$h = 3$

$k = 4$

Etapa 1.2

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(3, 4)$

Etapa 1.4

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 1.4.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.4.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.4.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Etapa 1.5

Encontre o foco.

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Etapa 1.5.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, \frac{33}{8})$

Etapa 1.6

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 3$

Etapa 1.7

Encontre a diretriz.

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Etapa 1.7.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.7.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{31}{8}$

Etapa 1.8

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(3, 4)$

Foco: $(3, \frac{33}{8})$

Eixo de simetria: $x = 3$

Diretriz: $y = \frac{31}{8}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(3, 4)$

Foco: $(3, \frac{33}{8})$

Eixo de simetria: $x = 3$

Diretriz: $y = \frac{31}{8}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 22$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 22$

Etapa 2.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (2) = 2^{1 + 2} - 12 \cdot 2 + 22$

Etapa 2.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (2) = 2^{3} - 12 \cdot 2 + 22$

Etapa 2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = 8 - 12 \cdot 2 + 22$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $2$ .

$f (2) = 8 - 24 + 22$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.2.2.1

Subtraia $24$ de $8$ .

$f (2) = - 16 + 22$

Etapa 2.2.2.2

Some $- 16$ e $22$ .

$f (2) = 6$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = 2$ é $6$ .

$y = 6$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 22$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 2 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 22$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = 2 - 12 \cdot 1 + 22$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f (1) = 2 - 12 + 22$

Etapa 2.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $12$ de $2$ .

$f (1) = - 10 + 22$

Etapa 2.5.2.2

Some $- 10$ e $22$ .

$f (1) = 12$

Etapa 2.5.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = 1$ é $12$ .

$y = 12$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = 2 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 22$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 2 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 22$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$f (4) = 32 - 12 \cdot 4 + 22$

Etapa 2.8.1.3

Multiplique $- 12$ por $4$ .

$f (4) = 32 - 48 + 22$

Etapa 2.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.8.2.1

Subtraia $48$ de $32$ .

$f (4) = - 16 + 22$

Etapa 2.8.2.2

Some $- 16$ e $22$ .

$f (4) = 6$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 4$ é $6$ .

$y = 6$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = 2 {(5)}^{2} - 12 \cdot 5 + 22$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = 2 \cdot 25 - 12 \cdot 5 + 22$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$f (5) = 50 - 12 \cdot 5 + 22$

Etapa 2.11.1.3

Multiplique $- 12$ por $5$ .

$f (5) = 50 - 60 + 22$

Etapa 2.11.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.11.2.1

Subtraia $60$ de $50$ .

$f (5) = - 10 + 22$

Etapa 2.11.2.2

Some $- 10$ e $22$ .

$f (5) = 12$

Etapa 2.11.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 5$ é $12$ .

$y = 12$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 12 \\ 2 & 6 \\ 3 & 4 \\ 4 & 6 \\ 5 & 12 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(3, 4)$

Foco: $(3, \frac{33}{8})$

Eixo de simetria: $x = 3$

Diretriz: $y = \frac{31}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 12 \\ 2 & 6 \\ 3 & 4 \\ 4 & 6 \\ 5 & 12 \end{array}$

Etapa 4