Trigonometria Exemplos

$g (x) = \sqrt{16 - x^{4}}$

Etapa 1

Encontre o domínio para $y = \sqrt{16 - x^{4}}$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente o radical.

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Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{(4 + x^{2}) (2 + x) (2 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(4 + x^{2}) (2 + x) (2 - x) \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 + x^{2} = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Etapa 1.2.2

Defina $4 + x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Defina $4 + x^{2}$ como igual a $0$ .

$4 + x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2.2

Resolva $4 + x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.2.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 1.2.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 1.2.2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 1.2.2.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 1.2.2.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 1.2.2.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 1.2.2.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 1.2.2.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 1.2.2.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 1.2.2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 1.2.2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 1.2.2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 1.2.3

Defina $2 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Defina $2 + x$ como igual a $0$ .

$2 + x = 0$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 1.2.4

Defina $2 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $2 - x$ como igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $2 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 1.2.4.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 1.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(4 + x^{2}) (2 + x) (2 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Etapa 1.2.6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 1.2.7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.2.7.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 1.2.7.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$(4 + {(- 4)}^{2}) (2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

Etapa 1.2.7.1.3

O lado esquerdo $- 240$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.2.7.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.7.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.2.7.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(4 + {(0)}^{2}) (2 + 0) (2 - (0)) \geq 0$

Etapa 1.2.7.2.3

O lado esquerdo $16$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.7.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.2.7.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.2.7.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$(4 + {(4)}^{2}) (2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

Etapa 1.2.7.3.3

O lado esquerdo $- 240$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.2.7.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 1.2.8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 2 \leq x \leq 2$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 2, 2]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Notação de intervalo:

$[- 2, 2]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Etapa 2

Para encontrar os pontos finais, substitua os limites dos valores de $x$ do domínio em $f (x) = \sqrt{(4 + x^{2}) (2 + x) (2 - x)}$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \sqrt{(4 + {(- 2)}^{2}) (2 - 2) (2 - (- 2))}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$f (- 2) = \sqrt{(4 + {(- 2)}^{2}) (2 - 2) (2 - (- 2))}$

Etapa 2.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{(4 + 4) (2 - 2) (2 - (- 2))}$

Etapa 2.2.3

Some $4$ e $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{8 (2 - 2) (2 - (- 2))}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{8 (2 - 2) (2 + 2)}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{8 \cdot (0 (2 + 2))}$

Etapa 2.2.6

Combine expoentes.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$f (- 2) = \sqrt{0 (2 + 2)}$

Etapa 2.2.6.2

Multiplique $0$ por $2 + 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{0}$

Etapa 2.2.7

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 2) = 0$

Etapa 2.2.9

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.3

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \sqrt{(4 + {(2)}^{2}) (2 + 2) (2 - (2))}$

Etapa 2.4

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.4.1

Remova os parênteses.

$f (2) = \sqrt{(4 + {(2)}^{2}) (2 + 2) (2 - (2))}$

Etapa 2.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \sqrt{(4 + 4) (2 + 2) (2 - (2))}$

Etapa 2.4.3

Some $4$ e $4$ .

$f (2) = \sqrt{8 (2 + 2) (2 - (2))}$

Etapa 2.4.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (2) = \sqrt{8 (2 + 2) (2 - 2)}$

Etapa 2.4.5

Some $2$ e $2$ .

$f (2) = \sqrt{8 \cdot (4 (2 - 2))}$

Etapa 2.4.6

Multiplique $8$ por $4$ .

$f (2) = \sqrt{32 (2 - 2)}$

Etapa 2.4.7

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (2) = \sqrt{32 \cdot 0}$

Etapa 2.4.8

Multiplique $32$ por $0$ .

$f (2) = \sqrt{0}$

Etapa 2.4.9

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (2) = 0$

Etapa 2.4.11

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3

Os pontos finais são $(- 2, 0), (2, 0)$ .

$(- 2, 0), (2, 0)$

Etapa 4

A raiz quadrada pode ser representada graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(- 2, 0), (2, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}$

Etapa 5