Trigonometria Exemplos

$g (x) = 2 \cos (2 x - π) + 4$

Etapa 1

Use a forma $a \cos (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 2$

$b = 2$

$c = π$

$d = 4$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $2$

Etapa 3

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o período de $2 \cos (2 x - π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.1.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 3.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.1.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2

Encontre o período de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 3.2.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$π$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{π}{2}$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $2$

Período: $π$

Mudança de fase: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ para a direita)

Deslocamento vertical: $4$

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

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Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) + 4$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) + 4$

Etapa 6.1.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (π - π) + 4$

Etapa 6.1.2.1.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (0) + 4$

Etapa 6.1.2.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + 4$

Etapa 6.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 4$

Etapa 6.1.2.2

Some $2$ e $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6$

Etapa 6.1.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = \frac{3 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{4}) - π) + 4$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - π) + 4$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - π) + 4$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} - π) + 4$

Etapa 6.2.2.1.2

Para escrever $- π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Etapa 6.2.2.1.3

Combine $- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 4$

Etapa 6.2.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π - π \cdot 2}{2}) + 4$

Etapa 6.2.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π - 2 π}{2}) + 4$

Etapa 6.2.2.1.5.2

Subtraia $2 π$ de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{π}{2}) + 4$

Etapa 6.2.2.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cdot 0 + 4$

Etapa 6.2.2.1.7

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0 + 4$

Etapa 6.2.2.2

Some $0$ e $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 4$

Etapa 6.2.2.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = 2 \cos (2 (π) - π) + 4$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$f (π) = 2 \cos (π) + 4$

Etapa 6.3.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (π) = 2 (- \cos (0)) + 4$

Etapa 6.3.2.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + 4$

Etapa 6.3.2.1.4

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 6.3.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 4$

Etapa 6.3.2.1.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 4$

Etapa 6.3.2.2

Some $- 2$ e $4$ .

$f (π) = 2$

Etapa 6.3.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{5 π}{4}) - π) + 4$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - π) + 4$

Etapa 6.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - π) + 4$

Etapa 6.4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π}{2} - π) + 4$

Etapa 6.4.2.1.2

Para escrever $- π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Etapa 6.4.2.1.3

Combine $- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 4$

Etapa 6.4.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{2}) + 4$

Etapa 6.4.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π - 2 π}{2}) + 4$

Etapa 6.4.2.1.5.2

Subtraia $2 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2}) + 4$

Etapa 6.4.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{π}{2}) + 4$

Etapa 6.4.2.1.7

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cdot 0 + 4$

Etapa 6.4.2.1.8

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 0 + 4$

Etapa 6.4.2.2

Some $0$ e $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 4$

Etapa 6.4.2.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = \frac{3 π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{2}) - π) + 4$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{2}) - π) + 4$

Etapa 6.5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (3 π - π) + 4$

Etapa 6.5.2.1.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (2 π) + 4$

Etapa 6.5.2.1.3

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (0) + 4$

Etapa 6.5.2.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot 1 + 4$

Etapa 6.5.2.1.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 + 4$

Etapa 6.5.2.2

Some $2$ e $4$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6$

Etapa 6.5.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & 6 \\ \frac{3 π}{4} & 4 \\ π & 2 \\ \frac{5 π}{4} & 4 \\ \frac{3 π}{2} & 6 \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $2$

Período: $π$

Mudança de fase: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ para a direita)

Deslocamento vertical: $4$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & 6 \\ \frac{3 π}{4} & 4 \\ π & 2 \\ \frac{5 π}{4} & 4 \\ \frac{3 π}{2} & 6 \end{array}$

Etapa 8