Trigonometria Exemplos

$f (x) = 6 | \cot (\frac{π}{12} x) |$

Etapa 1

Encontre o vértice do valor absoluto. Nesse caso, o vértice de $y = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ é $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

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Etapa 1.1

Para encontrar a coordenada $x$ do vértice, defina o interior do valor absoluto $\cot (\frac{π x}{12})$ igual a $0$ . Nesse caso, $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ .

$\cot (\frac{π x}{12}) = 0$

Etapa 1.2

Resolva a equação $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ para encontrar a coordenada $x$ do vértice de valor absoluto.

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Etapa 1.2.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$\frac{π x}{12} = arccot (0)$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.1

O valor exato de $arccot (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 1.2.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.4.1.1

Simplifique $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Etapa 1.2.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 1.2.4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique $\frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{6}{π} π$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{6}{π} π$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = 6$

Etapa 1.2.5

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{π x}{12} = π + \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 1.2.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.6.2.1.1

Simplifique $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Etapa 1.2.6.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 1.2.6.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.1

Simplifique $\frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$ .

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Etapa 1.2.6.2.2.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.2.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.6.2.2.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 1.2.6.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.6.2.2.1.2.3.1

Fatore $2$ de $12$ .

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 1.2.6.2.2.1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 1.2.6.2.2.1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 2 + π)$

Etapa 1.2.6.2.2.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6}{π} (2 π + π)$

Etapa 1.2.6.2.2.1.4

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.6.2.2.1.4.1

Some $2 π$ e $π$ .

$x = \frac{6}{π} (3 π)$

Etapa 1.2.6.2.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 1.2.6.2.2.1.4.2.1

Fatore $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

Etapa 1.2.6.2.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

Etapa 1.2.6.2.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x = 6 \cdot 3$

Etapa 1.2.6.2.2.1.4.3

Multiplique $6$ por $3$ .

$x = 18$

Etapa 1.2.7

Encontre o período de $\cot (\frac{π x}{12})$ .

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Etapa 1.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 1.2.7.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{12}$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| \frac{π}{12} |}$

Etapa 1.2.7.3

$\frac{π}{12}$ é aproximadamente $0.26179938$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{π}{\frac{π}{12}}$

Etapa 1.2.7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$π \frac{12}{π}$

Etapa 1.2.7.5

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 1.2.7.5.1

Cancele o fator comum.

$π \frac{12}{π}$

Etapa 1.2.7.5.2

Reescreva a expressão.

$12$

Etapa 1.2.8

O período da função $\cot (\frac{π x}{12})$ é $12$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $12$ radianos nas duas direções.

$x = 6 + 12 n, 18 + 12 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.9

Consolide as respostas.

$x = 6 + 12 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Substitua a variável $x$ por $6 + 12 n$ na expressão.

$y = 6 | \cot (\frac{π (6 + 12 n)}{12}) |$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $6 + 12 n$ e $12$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $6$ de $π (6 + 12 n)$ .

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{12}) |$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 (2)}) |$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 \cdot 2}) |$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y = 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

Etapa 1.5

O vértice do valor absoluto é $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

Etapa 2

Encontre o domínio para $f (x) = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente a função do valor absoluto.

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Etapa 2.1

Defina o argumento em $\cot (\frac{π x}{12})$ como igual a $π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\frac{π x}{12} = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

Etapa 2.2.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1.1

Simplifique $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

Etapa 2.2.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π n)$

Etapa 2.2.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

Etapa 2.2.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Fatore $π$ de $π n$ .

$x = \frac{12}{π} (π (n))$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

Etapa 2.2.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$x = 12 n$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 12 n}$ , para qualquer número inteiro $n$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 12 n}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

O valor absoluto pode ser representado graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 + 12 n & 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

Etapa 4