Trigonometria Exemplos

$\sec (\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3}))$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \frac{\sqrt{3}}{3})$ . Portanto, $\sec (\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3}))$ é $\sqrt{1 + {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Etapa 1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{1 + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Etapa 2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{1 + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{1 + \frac{3^{1}}{3^{2}}}$

Etapa 2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{1 + \frac{3}{3^{2}}}$

Etapa 3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{3}{9}}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

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Etapa 4.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\sqrt{1 + \frac{3 (1)}{9}}$

Etapa 4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\sqrt{1 + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{1 + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{1 + \frac{1}{3}}$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Etapa 5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{3 + 1}{3}}$

Etapa 5.3

Some $3$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 6

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 7.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 8

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 9

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 9.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 9.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 9.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 9.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 9.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$1.15470053 \dots$