Trigonometria Exemplos

$f (x) = x^{3} - \frac{14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $x^{3} - \frac{14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$ é indefinida.

$x = 0$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Combine.

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Etapa 5.1.1

Para escrever $x^{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} x^{2}}{x^{2}} - \frac{14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Etapa 5.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{3} x^{2} - 14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Etapa 5.1.3

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3 + 2} - 14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Etapa 5.1.3.2

Some $3$ e $2$ .

$\frac{x^{5} - 14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Etapa 5.1.4

Para escrever $\frac{x^{5} - 14}{x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{5} - 14}{x^{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3}$

Etapa 5.1.5

Para escrever $- \frac{5}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{5} - 14}{x^{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 5.1.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 x^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.1.6.1

Multiplique $\frac{x^{5} - 14}{x^{2}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x^{5} - 14) \cdot 3}{x^{2} \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 5.1.6.2

Multiplique $\frac{5}{3}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(x^{5} - 14) \cdot 3}{x^{2} \cdot 3} - \frac{5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Etapa 5.1.6.3

Reordene os fatores de $x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{(x^{5} - 14) \cdot 3}{3 x^{2}} - \frac{5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Etapa 5.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x^{5} - 14) \cdot 3 - 5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Etapa 5.1.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{5} \cdot 3 - 14 \cdot 3 - 5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Etapa 5.1.8.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$\frac{3 \cdot x^{5} - 14 \cdot 3 - 5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Etapa 5.1.8.3

Multiplique $- 14$ por $3$ .

$\frac{3 \cdot x^{5} - 42 - 5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Etapa 5.1.8.4

Reordene os termos.

$\frac{3 x^{5} - 5 x^{2} - 42}{3 x^{2}}$

Etapa 5.1.9

Simplifique.

$\frac{3 x^{5} - 5 x^{2} - 42}{3 x^{2}}$

Etapa 5.2

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

Etapa 5.3

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x^{2}$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

Etapa 5.4

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

$3 x^{5}$

$0$

Etapa 5.5

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{5} + 0 + 0$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

$3 x^{5}$

$0$

Etapa 5.6

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x^{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$

Etapa 5.7

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

						$x^{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$

Etapa 5.8

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x^{2}$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$\frac{5}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

$3 x^{5}$

$0$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

Etapa 5.9

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$\frac{5}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
											-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$0$

Etapa 5.10

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x^{2} + 0 + 0$ .

						$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$\frac{5}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
											+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$0$

Etapa 5.11

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$\frac{5}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
											+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$0$
															-	$42$

Etapa 5.12

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x^{3} - \frac{5}{3} - \frac{42}{3 x^{2}}$

Etapa 5.13

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x^{3} - \frac{5}{3}$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x^{3} - \frac{5}{3}$

Etapa 7