Trigonometria Exemplos

$f (x) = \frac{5}{2} \cdot \sin (5 π x + π) - \frac{1}{2}$

Etapa 1

Use a forma $a \sin (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = \frac{5}{2}$

$b = 5 π$

$c = - π$

$d = - \frac{1}{2}$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $\frac{5}{2}$

Etapa 3

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o período de $\frac{5 \sin (5 π x + π)}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.1.2

Substitua $b$ por $5 π$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 5 π |}$

Etapa 3.1.3

$5 π$ é aproximadamente $15.70796326$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{5 π}$

Etapa 3.1.4

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{5 π}$

Etapa 3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{5}$

Etapa 3.2

Encontre o período de $- \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.2

Substitua $b$ por $5 π$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 5 π |}$

Etapa 3.2.3

$5 π$ é aproximadamente $15.70796326$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{5 π}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{5 π}$

Etapa 3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{5}$

Etapa 3.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$\frac{2}{5}$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{- π}{5 π}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

Mudança de fase: $\frac{- π}{5 π}$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

Mudança de fase: $\frac{- 1}{5}$

Etapa 4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

Mudança de fase: $- \frac{1}{5}$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $\frac{5}{2}$

Período: $\frac{2}{5}$

Mudança de fase: $- \frac{1}{5}$ ( $\frac{1}{5}$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $- \frac{1}{2}$

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

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Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = - \frac{1}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{5}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (- \frac{1}{5}) + π)}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (- \frac{1}{5}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{5}$ para o numerador.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{- 1}{5}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.1.2.2.1.1.2

Fatore $5$ de $5 π$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 (π) (\frac{- 1}{5}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.1.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{- 1}{5}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.1.2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (π \cdot - 1 + π) - 1}{2}$

Etapa 6.1.2.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $π$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (- 1 \cdot π + π) - 1}{2}$

Etapa 6.1.2.2.1.3

Reescreva $- 1 π$ como $- π$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (- π + π) - 1}{2}$

Etapa 6.1.2.2.2

Some $- π$ e $π$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (0) - 1}{2}$

Etapa 6.1.2.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{5 \cdot 0 - 1}{2}$

Etapa 6.1.2.2.4

Multiplique $5$ por $0$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{0 - 1}{2}$

Etapa 6.1.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.1.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{5}) = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.1.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = - \frac{1}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{10}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (- \frac{1}{10}) + π)}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (- \frac{1}{10}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{10}$ para o numerador.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{- 1}{10}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.1.2

Fatore $5$ de $5 π$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 (π) (\frac{- 1}{10}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.1.3

Fatore $5$ de $10$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 (π) (\frac{- 1}{5 (2)}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.1.4

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{- 1}{5 \cdot 2}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.1.5

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (π (\frac{- 1}{2}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Combine $π$ e $\frac{- 1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π \cdot - 1}{2} + π) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $π$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{- 1 \cdot π}{2} + π) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (- \frac{π}{2} + π) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (- \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.3

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{- π + π \cdot 2}{2}) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{- π + 2 \cdot π}{2}) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.5.2

Some $- π$ e $2 π$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π}{2}) - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 \cdot 1 - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.7

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{5 - 1}{2}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Subtraia $1$ de $5$ .

$f (- \frac{1}{10}) = \frac{4}{2}$

Etapa 6.2.2.3.2

Divida $4$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{10}) = 2$

Etapa 6.2.2.4

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{5 \sin (5 π (0) + π)}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (0) = \frac{5 \sin (5 π (0) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Multiplique $5 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Multiplique $0$ por $5$ .

$f (0) = \frac{5 \sin (0 π + π) - 1}{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$f (0) = \frac{5 \sin (0 + π) - 1}{2}$

Etapa 6.3.2.2.2

Some $0$ e $π$ .

$f (0) = \frac{5 \sin (π) - 1}{2}$

Etapa 6.3.2.2.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (0) = \frac{5 \sin (0) - 1}{2}$

Etapa 6.3.2.2.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (0) = \frac{5 \cdot 0 - 1}{2}$

Etapa 6.3.2.2.5

Multiplique $5$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 1}{2}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.3.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (0) = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = \frac{1}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{10}$ na expressão.

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{1}{10}) + π)}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{1}{10}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.1.1

Fatore $5$ de $5 π$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 (π) (\frac{1}{10}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.1.1.2

Fatore $5$ de $10$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 (π) (\frac{1}{5 (2)}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{1}{5 \cdot 2}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (π (\frac{1}{2}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.1.2

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π}{2} + π) - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.3

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2}) - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2}) - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.5.2

Some $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \sin (\frac{3 π}{2}) - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 (- \sin (\frac{π}{2})) - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 (- 1 \cdot 1) - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.8

Multiplique $5 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{5 \cdot - 1 - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.8.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{- 5 - 1}{2}$

Etapa 6.4.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Subtraia $1$ de $- 5$ .

$f (\frac{1}{10}) = \frac{- 6}{2}$

Etapa 6.4.2.3.2

Divida $- 6$ por $2$ .

$f (\frac{1}{10}) = - 3$

Etapa 6.4.2.4

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = \frac{1}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{5}$ na expressão.

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{1}{5}) + π)}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{1}{5}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1.1

Fatore $5$ de $5 π$ .

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 (π) (\frac{1}{5}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (5 π (\frac{1}{5}) + π) - 1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (π + π) - 1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.2

Some $π$ e $π$ .

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (2 π) - 1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.3

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \sin (0) - 1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (\frac{1}{5}) = \frac{5 \cdot 0 - 1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.5

Multiplique $5$ por $0$ .

$f (\frac{1}{5}) = \frac{0 - 1}{2}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (\frac{1}{5}) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{5}) = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{10} & 2 \\ 0 & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{10} & - 3 \\ \frac{1}{5} & - \frac{1}{2} \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $\frac{5}{2}$

Período: $\frac{2}{5}$

Mudança de fase: $- \frac{1}{5}$ ( $\frac{1}{5}$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $- \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{10} & 2 \\ 0 & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{10} & - 3 \\ \frac{1}{5} & - \frac{1}{2} \end{array}$

Etapa 8