Trigonometria Exemplos

$f (x) = | 2 \cos (\frac{π x}{2}) |$

Etapa 1

Encontre o vértice do valor absoluto. Nesse caso, o vértice de $y = 2 | \cos (\frac{π x}{2}) |$ é $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

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Etapa 1.1

Para encontrar a coordenada $x$ do vértice, defina o interior do valor absoluto $\cos (\frac{π x}{2})$ igual a $0$ . Nesse caso, $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = 0$

Etapa 1.2

Resolva a equação $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ para encontrar a coordenada $x$ do vértice de valor absoluto.

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Etapa 1.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{π x}{2} = \arccos (0)$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$π x = π$

Etapa 1.2.4

Divida cada termo em $π x = π$ por $π$ e simplifique.

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Etapa 1.2.4.1

Divida cada termo em $π x = π$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Etapa 1.2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.3.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 1.2.4.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{π}{π}$

Etapa 1.2.4.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 1$

Etapa 1.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 1.2.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.6.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Etapa 1.2.6.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.6.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 1.2.6.2.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.6.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 1.2.6.2.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.2.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.6.2.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.6.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.6.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.6.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{π} (2 π \cdot 2 - π)$

Etapa 1.2.6.2.2.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{1}{π} (4 π - π)$

Etapa 1.2.6.2.2.1.6

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{1}{π} (3 π)$

Etapa 1.2.6.2.2.1.7

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 1.2.6.2.2.1.7.1

Fatore $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

Etapa 1.2.6.2.2.1.7.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

Etapa 1.2.6.2.2.1.7.3

Reescreva a expressão.

$x = 3$

Etapa 1.2.7

Encontre o período de $\cos (\frac{π x}{2})$ .

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Etapa 1.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.7.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Etapa 1.2.7.3

$\frac{π}{2}$ é aproximadamente $1.57079632$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Etapa 1.2.7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{2}{π}$

Etapa 1.2.7.5

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 1.2.7.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 1.2.7.5.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 1.2.7.5.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 2$

Etapa 1.2.7.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 1.2.8

O período da função $\cos (\frac{π x}{2})$ é $4$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4$ radianos nas duas direções.

$x = 1 + 4 n, 3 + 4 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.9

Consolide as respostas.

$x = 1 + 2 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Substitua a variável $x$ por $1 + 2 n$ na expressão.

$y = 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

Etapa 1.4

O vértice do valor absoluto é $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

O valor absoluto pode ser representado graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 + 2 n & 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

Etapa 4