Trigonometria Exemplos

$f (x) = \frac{2 e - x}{x} - \ln (x)$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre onde a expressão $\frac{2 e - x - x \ln (x)}{x}$ é indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 1.2

$\frac{2 e - x - x \ln (x)}{x}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $\frac{2 e - x - x \ln (x)}{x}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 1.3

Ignorando o algoritmo, considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 1.4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 1$

$m = 1$

Etapa 1.5

Como $n = m$ , a assíntota horizontal é a reta $y = \frac{a}{b}$ , em que $a = - 2$ e $b = 1$ .

$y = - 2$

Etapa 1.6

Não há assíntotas oblíquas presentes para as funções logarítmicas e trigonométricas.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 1.7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = - 2$

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = - 2$

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{2 e - (1)}{1} - \ln (1)$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{2 e - 1}{1} - \ln (1)$

Etapa 2.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1

Divida $2 e - 1$ por $1$ .

$f (1) = 2 e - 1 - \ln (1)$

Etapa 2.2.2.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = 2 e - 1 - 0$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (1) = 2 e - 1 + 0$

Etapa 2.2.3

Some $2 e$ e $0$ .

$f (1) = 2 e - 1$

Etapa 2.2.4

A resposta final é $2 e - 1$ .

$2 e - 1$

Etapa 2.3

Converta $2 e - 1$ em decimal.

$y = 4.43656365$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 2$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{2 e - (2)}{2} - \ln (2)$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (2) = \frac{2 e - 2}{2} - \ln (2)$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $2 e - 2$ e $2$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 e$ .

$f (2) = \frac{2 (e) - 2}{2} - \ln (2)$

Etapa 3.2.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (2) = \frac{2 (e) + 2 \cdot - 1}{2} - \ln (2)$

Etapa 3.2.2.3

Fatore $2$ de $2 (e) + 2 (- 1)$ .

$f (2) = \frac{2 (e - 1)}{2} - \ln (2)$

Etapa 3.2.2.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (2) = \frac{2 (e - 1)}{2 (1)} - \ln (2)$

Etapa 3.2.2.4.2

Cancele o fator comum.

$f (2) = \frac{2 (e - 1)}{2 \cdot 1} - \ln (2)$

Etapa 3.2.2.4.3

Reescreva a expressão.

$f (2) = \frac{e - 1}{1} - \ln (2)$

Etapa 3.2.2.4.4

Divida $e - 1$ por $1$ .

$f (2) = e - 1 - \ln (2)$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $e - 1 - \ln (2)$ .

$e - 1 - \ln (2)$

Etapa 3.3

Converta $e - 1 - \ln (2)$ em decimal.

$y = 1.02513464$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 3$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{2 e - (3)}{3} - \ln (3)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3}{3} - \ln (3)$

Etapa 4.2.2

Para escrever $- \ln (3)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3}{3} - \ln (3) \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.2.3

Combine frações.

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Etapa 4.2.3.1

Combine $- \ln (3)$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3}{3} + \frac{- \ln (3) \cdot 3}{3}$

Etapa 4.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (3) = \frac{2 e - 3 - \ln (3) \cdot 3}{3}$

Etapa 4.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.4.1

Multiplique $- \ln (3) \cdot 3$ .

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Etapa 4.2.4.1.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3 - 3 \ln (3)}{3}$

Etapa 4.2.4.1.2

Simplifique $- 3 \ln (3)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$f (3) = \frac{2 e - 3 - \ln (3^{3})}{3}$

Etapa 4.2.4.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$

Etapa 4.2.5

A resposta final é $\frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$ .

$\frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$

Etapa 4.3

Converta $\frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$ em decimal.

$y = - 0.2864244$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = 0$ e os pontos $(1, 4.43656365), (2, 1.02513464), (3, - 0.2864244)$ .

Assíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 4.437 \\ 2 & 1.025 \\ 3 & - 0.286 \end{array}$

Etapa 6