Trigonometria Exemplos

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Complete o quadrado de $9 x^{2} - 18 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Etapa 1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 18$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 9}{9}$

Etapa 1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 9$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.1

Fatore $9$ de $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Eleve $- 18$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Etapa 1.1.4.2.1.3

Divida $324$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Etapa 1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$e = 0 - 9$

Etapa 1.1.4.2.2

Subtraia $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Etapa 1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Etapa 1.2

Substitua $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ por $9 x^{2} - 18 x$ na equação $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 - 4 y^{2} + 8 y = 23$

Etapa 1.3

Mova $- 9$ para o lado direito da equação, somando $9$ aos dois lados.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} + 8 y = 23 + 9$

Etapa 1.4

Complete o quadrado de $- 4 y^{2} + 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 4$

$b = 8$

$c = 0$

Etapa 1.4.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.4.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.4.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- 4)}$

Etapa 1.4.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.4.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{- 4}$

Etapa 1.4.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 (1)}{- 4}$

Etapa 1.4.3.2.2.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Etapa 1.4.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 1.4.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 4}$

Etapa 1.4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

Etapa 1.4.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

Etapa 1.4.4.2.1.3

Divida $64$ por $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

Etapa 1.4.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Etapa 1.4.4.2.2

Some $0$ e $4$ .

$e = 4$

Etapa 1.4.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$

Etapa 1.5

Substitua $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ por $- 4 y^{2} + 8 y$ na equação $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} + 4 = 23 + 9$

Etapa 1.6

Mova $4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 23 + 9 - 4$

Etapa 1.7

Simplifique $23 + 9 - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Some $23$ e $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 32 - 4$

Etapa 1.7.2

Subtraia $4$ de $32$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 28$

Etapa 1.8

Divida cada termo por $28$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{28} - \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{28} = \frac{28}{28}$

Etapa 1.9

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{\frac{28}{9}} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{7} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$

$b = \sqrt{7}$

$k = 1$

$h = 1$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(1, 1)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\frac{2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(2 \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{4 {\sqrt{7}}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{1}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique cancelando o expoente com radical.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7}{9} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $4$ por $7$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{1}}$

Etapa 5.3.3.3.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7}$

Etapa 5.3.4

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7 \cdot \frac{9}{9}}$

Etapa 5.3.5

Combine $7$ e $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + \frac{7 \cdot 9}{9}}$

Etapa 5.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{28 + 7 \cdot 9}{9}}$

Etapa 5.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Multiplique $7$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{28 + 63}{9}}$

Etapa 5.3.7.2

Some $28$ e $63$ .

$\sqrt{\frac{91}{9}}$

Etapa 5.3.8

Reescreva $\sqrt{\frac{91}{9}}$ como $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{9}}$

Etapa 5.3.9

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 5.3.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{91}}{3}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1 + \frac{2 \sqrt{7}}{3}, 1)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1 - \frac{2 \sqrt{7}}{3}, 1)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(1 + \frac{2 \sqrt{7}}{3}, 1), (1 - \frac{2 \sqrt{7}}{3}, 1)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1 + \frac{\sqrt{91}}{3}, 1)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1 - \frac{\sqrt{91}}{3}, 1)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(1 + \frac{\sqrt{91}}{3}, 1), (1 - \frac{\sqrt{91}}{3}, 1)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{7}}{3}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{{(\frac{2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(2 \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.2.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{4 {\sqrt{7}}^{2}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.3.2

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{1}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.4

Simplifique cancelando o expoente com radical.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7}{9} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.4.2

Multiplique $4$ por $7$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.4.3

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.4.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.4.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{\frac{2}{2}}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.4.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{\frac{2}{2}}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{1}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.4.3.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.5

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7 \cdot \frac{9}{9}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.6

Combine $7$ e $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + \frac{7 \cdot 9}{9}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{28 + 7 \cdot 9}{9}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.8.1

Multiplique $7$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{28 + 63}{9}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.8.2

Some $28$ e $63$ .

$\sqrt{\frac{91}{9}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.9

Reescreva $\sqrt{\frac{91}{9}}$ como $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.10

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.10.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{3^{2}}} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.10.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{91}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.11

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.11.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.11.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{91}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.11.1.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{91} \frac{1}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.11.2

Combine $\sqrt{91}$ e $\frac{1}{2 \sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{2 \sqrt{7}}$

Etapa 8.3.12

Combine $\sqrt{91}$ e $\sqrt{7}$ em um único radical.

$\frac{\sqrt{\frac{91}{7}}}{2}$

Etapa 8.3.13

Cancele o fator comum de $91$ e $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.13.1

Fatore $7$ de $91$ .

$\frac{\sqrt{\frac{7 \cdot 13}{7}}}{2}$

Etapa 8.3.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.13.2.1

Fatore $7$ de $7$ .

$\frac{\sqrt{\frac{7 \cdot 13}{7 (1)}}}{2}$

Etapa 8.3.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{\frac{7 \cdot 13}{7 \cdot 1}}}{2}$

Etapa 8.3.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{\frac{13}{1}}}{2}$

Etapa 8.3.13.2.4

Divida $13$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{\sqrt{91}}}{3}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{\sqrt{91}} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 9.3.2

Combine.

$\frac{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1}{\sqrt{91} \cdot 3}$

Etapa 9.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Multiplique ${\sqrt{7}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{\sqrt{91} \cdot 3}$

Etapa 9.3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{91}$ .

$\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{3 \sqrt{91}}$

Etapa 9.3.4

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 \sqrt{91}}$

Etapa 9.3.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3 \sqrt{91}}$

Etapa 9.3.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{3 \sqrt{91}}$

Etapa 9.3.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{3 \sqrt{91}}$

Etapa 9.3.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{7^{1}}{3 \sqrt{91}}$

Etapa 9.3.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{7}{3 \sqrt{91}}$

Etapa 9.3.5

Multiplique $\frac{7}{3 \sqrt{91}}$ por $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$ .

$\frac{7}{3 \sqrt{91}} \cdot \frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$

Etapa 9.3.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.6.1

Multiplique $\frac{7}{3 \sqrt{91}}$ por $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 \sqrt{91} \sqrt{91}}$

Etapa 9.3.6.2

Mova $\sqrt{91}$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 (\sqrt{91} \sqrt{91})}$

Etapa 9.3.6.3

Eleve $\sqrt{91}$ à potência de $1$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 ({\sqrt{91}}^{1} \sqrt{91})}$

Etapa 9.3.6.4

Eleve $\sqrt{91}$ à potência de $1$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 ({\sqrt{91}}^{1} {\sqrt{91}}^{1})}$

Etapa 9.3.6.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 {\sqrt{91}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.6.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 {\sqrt{91}}^{2}}$

Etapa 9.3.6.7

Reescreva ${\sqrt{91}}^{2}$ como $91$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.6.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{91}$ como $91^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 {(91^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.6.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 \cdot 91^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.6.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 \cdot 91^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.6.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.6.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 \cdot 91^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.6.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 \cdot 91^{1}}$

Etapa 9.3.6.7.5

Avalie o expoente.

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 \cdot 91}$

Etapa 9.3.7

Cancele o fator comum de $7$ e $91$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.7.1

Fatore $7$ de $7 \sqrt{91}$ .

$\frac{7 (\sqrt{91})}{3 \cdot 91}$

Etapa 9.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.7.2.1

Fatore $7$ de $3 \cdot 91$ .

$\frac{7 (\sqrt{91})}{7 (3 \cdot 13)}$

Etapa 9.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7 \sqrt{91}}{7 (3 \cdot 13)}$

Etapa 9.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{91}}{3 \cdot 13}$

Etapa 9.3.8

Multiplique $3$ por $13$ .

$\frac{\sqrt{91}}{39}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) + 1$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) + 1$

Etapa 11.2

Simplifique $\frac{3}{2} \cdot (x - (1)) + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) + 1$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 1 + 1$

Etapa 11.2.1.3

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 1 + 1$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{2} + 1$

Etapa 11.2.1.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2} + 1$

Etapa 11.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + 1$

Etapa 11.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{2}{2}$

Etapa 11.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 + 2}{2}$

Etapa 11.2.2.3

Some $- 3$ e $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 11.2.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) + 1$

Etapa 12.2

Simplifique $- \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1) + 1$

Etapa 12.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1 + 1$

Etapa 12.2.1.3

Combine $x$ e $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 + 1$

Etapa 12.2.1.4

Multiplique $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) + 1$

Etapa 12.2.1.4.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2} + 1$

Etapa 12.2.1.5

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + 1$

Etapa 12.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{2}{2}$

Etapa 12.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 + 2}{2}$

Etapa 12.2.2.3

Some $3$ e $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(1, 1)$

Vértices: $(1 + \frac{2 \sqrt{7}}{3}, 1), (1 - \frac{2 \sqrt{7}}{3}, 1)$

Ponto imaginário: $(1 + \frac{\sqrt{91}}{3}, 1), (1 - \frac{\sqrt{91}}{3}, 1)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Parâmetro focal: $\frac{\sqrt{91}}{39}$

Assíntotas: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 15