Trigonometria Exemplos

$5 \cos (\frac{π}{3} \cdot (x - 1)) + 1$

Etapa 1

Use a forma $a \cos (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 5$

$b = \frac{π}{3}$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 1$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $5$

Etapa 3

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o período de $5 \cos (\frac{π x}{3} - \frac{π}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.1.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{3}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Etapa 3.1.3

$\frac{π}{3}$ é aproximadamente $1.04719755$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Etapa 3.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{3}{π}$

Etapa 3.1.5

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Etapa 3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Etapa 3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 3$

Etapa 3.1.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$6$

Etapa 3.2

Encontre o período de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{3}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Etapa 3.2.3

$\frac{π}{3}$ é aproximadamente $1.04719755$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Etapa 3.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{3}{π}$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Etapa 3.2.5.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Etapa 3.2.5.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 3$

Etapa 3.2.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$6$

Etapa 3.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$6$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{\frac{π}{3}}{\frac{π}{3}}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $\frac{π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

Mudança de fase: $\frac{\frac{π}{3}}{\frac{π}{3}}$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

Mudança de fase: $1$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $5$

Período: $6$

Mudança de fase: $1$ ( $1$ para a direita)

Deslocamento vertical: $1$

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 5 \cos (\frac{π (1)}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1) = 5 \cos (\frac{π (1) - π}{3}) + 1$

Etapa 6.1.2.1.2

Multiplique $π$ por $1$ .

$f (1) = 5 \cos (\frac{π - π}{3}) + 1$

Etapa 6.1.2.1.3

Subtraia $π$ de $π$ .

$f (1) = 5 \cos (\frac{0}{3}) + 1$

Etapa 6.1.2.1.4

Divida $0$ por $3$ .

$f (1) = 5 \cos (0) + 1$

Etapa 6.1.2.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (1) = 5 \cdot 1 + 1$

Etapa 6.1.2.1.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (1) = 5 + 1$

Etapa 6.1.2.2

Some $5$ e $1$ .

$f (1) = 6$

Etapa 6.1.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = \frac{5}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5}{2}$ na expressão.

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cos (\frac{π (\frac{5}{2})}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cos (\frac{π (\frac{5}{2}) - π}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{π \cdot 5}{2} - π}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Mova $5$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{5 π}{2} - π}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.3

Para escrever $- π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.4

Combine $- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{5 π - π \cdot 2}{2}}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{5 π - 2 π}{2}}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.6.2

Subtraia $2 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.8

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.8.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.8.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.8.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cos (\frac{π}{2}) + 1$

Etapa 6.2.2.1.9

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{5}{2}) = 5 \cdot 0 + 1$

Etapa 6.2.2.1.10

Multiplique $5$ por $0$ .

$f (\frac{5}{2}) = 0 + 1$

Etapa 6.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{5}{2}) = 1$

Etapa 6.2.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = 5 \cos (\frac{π (4)}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (4) = 5 \cos (\frac{π (4) - π}{3}) + 1$

Etapa 6.3.2.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$f (4) = 5 \cos (\frac{4 π - π}{3}) + 1$

Etapa 6.3.2.1.3

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$f (4) = 5 \cos (\frac{3 π}{3}) + 1$

Etapa 6.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (4) = 5 \cos (\frac{3 π}{3}) + 1$

Etapa 6.3.2.1.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (4) = 5 \cos (π) + 1$

Etapa 6.3.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (4) = 5 (- \cos (0)) + 1$

Etapa 6.3.2.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (4) = 5 (- 1 \cdot 1) + 1$

Etapa 6.3.2.1.7

Multiplique $5 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (4) = 5 \cdot - 1 + 1$

Etapa 6.3.2.1.7.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f (4) = - 5 + 1$

Etapa 6.3.2.2

Some $- 5$ e $1$ .

$f (4) = - 4$

Etapa 6.3.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = \frac{11}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{11}{2}$ na expressão.

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{π (\frac{11}{2})}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{π (\frac{11}{2}) - π}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{11}{2}$ .

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{π \cdot 11}{2} - π}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.2.2

Mova $11$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{11 π}{2} - π}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.3

Para escrever $- π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{11 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.4

Combine $- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{11 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{11 π - π \cdot 2}{2}}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{11 π - 2 π}{2}}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.6.2

Subtraia $2 π$ de $11 π$ .

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.8

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.8.1

Fatore $3$ de $9 π$ .

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.8.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.8.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{3 π}{2}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.9

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cos (\frac{π}{2}) + 1$

Etapa 6.4.2.1.10

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{11}{2}) = 5 \cdot 0 + 1$

Etapa 6.4.2.1.11

Multiplique $5$ por $0$ .

$f (\frac{11}{2}) = 0 + 1$

Etapa 6.4.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{11}{2}) = 1$

Etapa 6.4.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f (7) = 5 \cos (\frac{π (7)}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (7) = 5 \cos (\frac{π (7) - π}{3}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.2

Mova $7$ para a esquerda de $π$ .

$f (7) = 5 \cos (\frac{7 π - π}{3}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.3

Subtraia $π$ de $7 π$ .

$f (7) = 5 \cos (\frac{6 π}{3}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.4.1

Fatore $3$ de $6 π$ .

$f (7) = 5 \cos (\frac{3 (2 π)}{3}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (7) = 5 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (7) = 5 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (7) = 5 \cos (\frac{2 π}{1}) + 1$

Etapa 6.5.2.1.4.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$f (7) = 5 \cos (2 π) + 1$

Etapa 6.5.2.1.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (7) = 5 \cos (0) + 1$

Etapa 6.5.2.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (7) = 5 \cdot 1 + 1$

Etapa 6.5.2.1.7

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (7) = 5 + 1$

Etapa 6.5.2.2

Some $5$ e $1$ .

$f (7) = 6$

Etapa 6.5.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 1 & 6 \\ \frac{5}{2} & 1 \\ 4 & - 4 \\ \frac{11}{2} & 1 \\ 7 & 6 \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $5$

Período: $6$

Mudança de fase: $1$ ( $1$ para a direita)

Deslocamento vertical: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 1 & 6 \\ \frac{5}{2} & 1 \\ 4 & - 4 \\ \frac{11}{2} & 1 \\ 7 & 6 \end{array}$

Etapa 8