Trigonometria Exemplos

$\cos (\arctan (x))$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Reduza.

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Etapa 3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}$

Etapa 3.1.2

Fatore $1 + x^{2}$ de ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}$

Etapa 3.1.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.3.1

Multiplique por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Etapa 3.1.3.4

Divida ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3.1.4

Mova ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ se aproxima de $0$ .

$0$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 0$

Etapa 5

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 7