Trigonometria Exemplos

$\log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$

Etapa 1

Encontre o domínio para $y = \log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente o radical.

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Etapa 1.1

Defina o argumento em $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1} > 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Calcule a regra de três.

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Etapa 1.2.1.1

Calcule a regra de três definindo o produto do numerador do lado direito e o denominador do lado esquerdo como igual ao produto do numerador do lado esquerdo e o denominador do lado direito.

$0 \cdot (x - 1) > 81 \sqrt{x - 1}$

Etapa 1.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $x - 1$ .

$0 > 81 \sqrt{x - 1}$

Etapa 1.2.2

Reescreva de forma que $81 \sqrt{x - 1}$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$81 \sqrt{x - 1} < 0$

Etapa 1.2.3

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(81 \sqrt{x - 1})}^{2} < 0^{2}$

Etapa 1.2.4

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 1.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique ${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$81^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Eleve $81$ à potência de $2$ .

$6561 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$6561 {(x - 1)}^{1} < 0^{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Simplifique.

$6561 (x - 1) < 0^{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$6561 x + 6561 \cdot - 1 < 0^{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.6

Multiplique $6561$ por $- 1$ .

$6561 x - 6561 < 0^{2}$

Etapa 1.2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$6561 x - 6561 < 0$

Etapa 1.2.5

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Some $6561$ aos dois lados da desigualdade.

$6561 x < 6561$

Etapa 1.2.5.2

Divida cada termo em $6561 x < 6561$ por $6561$ e simplifique.

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Etapa 1.2.5.2.1

Divida cada termo em $6561 x < 6561$ por $6561$ .

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Etapa 1.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $6561$ .

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Etapa 1.2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Etapa 1.2.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{6561}{6561}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.2.3.1

Divida $6561$ por $6561$ .

$x < 1$

Etapa 1.2.6

Encontre o domínio de $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina o radicando em $\sqrt{x - 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x - 1 \geq 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$x \geq 1$

Etapa 1.2.6.3

Defina o denominador em $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.6.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.6.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(1, \infty)$

Etapa 1.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x > 1$

Etapa 1.3

Defina o radicando em $\sqrt{x - 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x - 1 \geq 0$

Etapa 1.4

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$x \geq 1$

Etapa 1.5

Defina o denominador em $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 1 = 0$

Etapa 1.6

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.7

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 1}$

Notação de intervalo:

$(1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 1}$

Etapa 2

Para encontrar o ponto final da expressão com radicais, substitua o valor $x$ $1$ , que é o menor valor no domínio, em $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{(1) - 1})$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{0})$

Etapa 2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

$f (1) = Undefined$

Indefinido

Etapa 3

O ponto final da expressão com radicais é $(1, Undefined)$ .

$(1, Undefined)$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ a partir do domínio. É mais útil selecionar os valores de forma que fiquem próximos do valor $x$ do ponto final da expressão com radicais.

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Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . Nesse caso, o ponto é $(2, 4)$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(2) - 1}}{(2) - 1})$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.1.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{1}}{2 - 1})$

Etapa 4.1.2.1.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{2 - 1})$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{1})$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $81$ por $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81}{1})$

Etapa 4.1.2.3

A base do logaritmo $3$ de $\frac{81}{1}$ é $4$ .

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Etapa 4.1.2.3.1

Reescreva como uma equação.

$\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$

Etapa 4.1.2.3.2

Reescreva $\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ não for igual a $1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{81}{1}$

Etapa 4.1.2.3.3

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{x} = 3^{4}$

Etapa 4.1.2.3.4

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 4$

Etapa 4.1.2.3.5

A variável $x$ é igual a $4$ .

$f (2) = 4$

Etapa 4.1.2.4

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $3$ em $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . Nesse caso, o ponto é $(3, \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2}))$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(3) - 1}}{(3) - 1})$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.2.1

Subtraia $1$ de $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{3 - 1})$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

Etapa 4.2.2.3

A resposta final é $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$ .

$y = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

Etapa 4.3

A raiz quadrada pode ser representada graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(1, Undefined), (2, 4), (3, 3.68)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 4 \\ 3 & 3.68 \end{array}$

Etapa 5