Trigonometria Exemplos

$\log_{2} (2 x^{2} + 24 x + 72)$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Defina o argumento do logaritmo como igual a zero.

$2 x^{2} + 24 x + 72 = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 24 x + 72$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 24 x + 72 = 0$

Etapa 1.2.1.1.2

Fatore $2$ de $24 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (12 x) + 72 = 0$

Etapa 1.2.1.1.3

Fatore $2$ de $72$ .

$2 x^{2} + 2 (12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Etapa 1.2.1.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (12 x)$ .

$2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Etapa 1.2.1.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

Etapa 1.2.1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

Etapa 1.2.1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Etapa 1.2.1.2.3

Reescreva o polinômio.

$2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Etapa 1.2.1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 6$ .

$2 {(x + 6)}^{2} = 0$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ por $2$ .

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida ${(x + 6)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 6)}^{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Etapa 1.2.3

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 1.2.4

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 1.3

A assíntota vertical ocorre em $x = - 6$ .

Assíntota vertical: $x = - 6$

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = \log_{2} (2 {(- 5)}^{2} + 24 (- 5) + 72)$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2 \cdot 25 + 24 (- 5) + 72)$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 + 24 (- 5) + 72)$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $24$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 - 120 + 72)$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Subtraia $120$ de $50$ .

$f (- 5) = \log_{2} (- 70 + 72)$

Etapa 2.2.2.2

Some $- 70$ e $72$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2)$

Etapa 2.2.3

A base do logaritmo $2$ de $2$ é $1$ .

$f (- 5) = 1$

Etapa 2.2.4

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 2.3

Converta $1$ em decimal.

$y = 1$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = \log_{2} (2 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4) + 72)$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4) = \log_{2} (2 \cdot 16 + 24 (- 4) + 72)$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 + 24 (- 4) + 72)$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $24$ por $- 4$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 - 96 + 72)$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Subtraia $96$ de $32$ .

$f (- 4) = \log_{2} (- 64 + 72)$

Etapa 3.2.2.2

Some $- 64$ e $72$ .

$f (- 4) = \log_{2} (8)$

Etapa 3.2.3

A base do logaritmo $2$ de $8$ é $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reescreva como uma equação.

$\log_{2} (8) = x$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva $\log_{2} (8) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ não for igual a $1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 8$

Etapa 3.2.3.3

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{3}$

Etapa 3.2.3.4

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 3$

Etapa 3.2.3.5

A variável $x$ é igual a $3$ .

$f (- 4) = 3$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 3.3

Converta $3$ em decimal.

$y = 3$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \log_{2} (2 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) + 72)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (2 \cdot 4 + 24 (- 2) + 72)$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 + 24 (- 2) + 72)$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $24$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 - 48 + 72)$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $48$ de $8$ .

$f (- 2) = \log_{2} (- 40 + 72)$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 40$ e $72$ .

$f (- 2) = \log_{2} (32)$

Etapa 4.2.3

A base do logaritmo $2$ de $32$ é $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Reescreva como uma equação.

$\log_{2} (32) = x$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva $\log_{2} (32) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ não for igual a $1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 32$

Etapa 4.2.3.3

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{5}$

Etapa 4.2.3.4

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 5$

Etapa 4.2.3.5

A variável $x$ é igual a $5$ .

$f (- 2) = 5$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $5$ .

$5$

Etapa 4.3

Converta $5$ em decimal.

$y = 5$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = - 6$ e os pontos $(- 5, 1), (- 4, 3), (- 2, 5)$ .

Assíntota vertical: $x = - 6$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 1 \\ - 4 & 3 \\ - 2 & 5 \end{array}$

Etapa 6