Trigonometria Exemplos

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 3$

$b = \sqrt{7}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{9 + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{9 + 7^{1}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{9 + 7}$

Etapa 5.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Some $9$ e $7$ .

$\sqrt{16}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Etapa 5.3.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 3, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(3, 0), (- 3, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, 0)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 4, 0)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(4, 0), (- 4, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}}{3}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + {\sqrt{7}}^{2}}}{3}$

Etapa 8.3.2

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Etapa 8.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Etapa 8.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Etapa 8.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Etapa 8.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Etapa 8.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{9 + 7^{1}}}{3}$

Etapa 8.3.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{9 + 7}}{3}$

Etapa 8.3.3

Some $9$ e $7$ .

$\frac{\sqrt{16}}{3}$

Etapa 8.3.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{3}$

Etapa 8.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{4}{3}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

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Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{4}$

Etapa 9.3

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Etapa 9.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Etapa 9.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 9.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 9.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{7^{1}}{4}$

Etapa 9.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{7}{4}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} x + 0$

Etapa 11

Simplifique $\frac{\sqrt{7}}{3} x + 0$ .

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Etapa 11.1

Some $\frac{\sqrt{7}}{3} x$ e $0$ .

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} x$

Etapa 11.2

Combine $\frac{\sqrt{7}}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3}$

Etapa 12

Simplifique $- \frac{\sqrt{7}}{3} x + 0$ .

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Etapa 12.1

Some $- \frac{\sqrt{7}}{3} x$ e $0$ .

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} x$

Etapa 12.2

Combine $x$ e $\frac{\sqrt{7}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3}, y = - \frac{x \sqrt{7}}{3}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(3, 0), (- 3, 0)$

Ponto imaginário: $(4, 0), (- 4, 0)$

Excentricidade: $\frac{4}{3}$

Parâmetro focal: $\frac{7}{4}$

Assíntotas: $y = \frac{\sqrt{7} x}{3}$ , $y = - \frac{x \sqrt{7}}{3}$

Etapa 15