Trigonometria Exemplos

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 16}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{(x + 4) (x - 4)}$ é indefinida.

$x = - 4, x = 4$

Etapa 2

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{(x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 4$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{(x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 4$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 4$

Etapa 3

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{(x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $4$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{(x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $4$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 4$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - 4, 4$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 8.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 4^{2}}$

Etapa 8.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{(x + 4) (x - 4)}$

Etapa 8.2

Expanda $(x + 4) (x - 4)$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x (x - 4) + 4 (x - 4)}$

Etapa 8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)}$

Etapa 8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4}$

Etapa 8.2.4

Reordene $x$ e $- 4$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4}$

Etapa 8.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4}$

Etapa 8.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4}$

Etapa 8.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{1 + 1} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4}$

Etapa 8.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4}$

Etapa 8.2.9

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 4 x + 4 x - 16}$

Etapa 8.2.10

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{2} + 0 - 16}$

Etapa 8.2.11

Subtraia $16$ de $0$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 16}$

Etapa 8.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$16$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

Etapa 8.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$16$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

Etapa 8.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$16$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$16 x$

Etapa 8.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 0 - 16 x$ .

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$16$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$

Etapa 8.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$16$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$16 x$

$2 x^{2}$

$17 x$

Etapa 8.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$16$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$17 x$	-	$1$

Etapa 8.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$16$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$17 x$	-	$1$

Etapa 8.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$16$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$17 x$	-	$1$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$32$

Etapa 8.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} + 0 + 32$ .

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$16$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$17 x$	-	$1$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$32$

Etapa 8.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$16$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$17 x$	-	$1$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$32$
									+	$17 x$	-	$33$

Etapa 8.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x - 2 + \frac{17 x - 33}{x^{2} - 16}$

Etapa 8.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x - 2$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 4, 4$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x - 2$

Etapa 10