Trigonometria Exemplos

${(x - 4)}^{2} + (y - 2) = 9$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia ${(x - 4)}^{2}$ dos dois lados da equação.

$y - 2 = 9 - {(x - 4)}^{2}$

Etapa 1.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 9 - {(x - 4)}^{2} + 2$

Etapa 1.3

Some $9$ e $2$ .

$y = - {(x - 4)}^{2} + 11$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 2.1

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 11$

Etapa 2.2

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 2.3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(4, 11)$

Etapa 2.4

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 2.4.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.4.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.4.3

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 2.4.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 2.5

Encontre o foco.

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Etapa 2.5.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, \frac{43}{4})$

Etapa 2.6

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 4$

Etapa 2.7

Encontre a diretriz.

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Etapa 2.7.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.7.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{45}{4}$

Etapa 2.8

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(4, 11)$

Foco: $(4, \frac{43}{4})$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = \frac{45}{4}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(4, 11)$

Foco: $(4, \frac{43}{4})$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = \frac{45}{4}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 8 (3) - 5$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 8 (3) - 5$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (3) = - 9 + 8 (3) - 5$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $8$ por $3$ .

$f (3) = - 9 + 24 - 5$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Some $- 9$ e $24$ .

$f (3) = 15 - 5$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $5$ de $15$ .

$f (3) = 10$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $10$ .

$10$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = 3$ é $10$ .

$y = 10$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 8 (2) - 5$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 8 (2) - 5$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (2) = - 4 + 8 (2) - 5$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$f (2) = - 4 + 16 - 5$

Etapa 3.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Some $- 4$ e $16$ .

$f (2) = 12 - 5$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $5$ de $12$ .

$f (2) = 7$

Etapa 3.5.3

A resposta final é $7$ .

$7$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = 2$ é $7$ .

$y = 7$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = - {(5)}^{2} + 8 (5) - 5$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 8 (5) - 5$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$f (5) = - 25 + 8 (5) - 5$

Etapa 3.8.1.3

Multiplique $8$ por $5$ .

$f (5) = - 25 + 40 - 5$

Etapa 3.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Some $- 25$ e $40$ .

$f (5) = 15 - 5$

Etapa 3.8.2.2

Subtraia $5$ de $15$ .

$f (5) = 10$

Etapa 3.8.3

A resposta final é $10$ .

$10$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = 5$ é $10$ .

$y = 10$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = - {(6)}^{2} + 8 (6) - 5$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 8 (6) - 5$

Etapa 3.11.1.2

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$f (6) = - 36 + 8 (6) - 5$

Etapa 3.11.1.3

Multiplique $8$ por $6$ .

$f (6) = - 36 + 48 - 5$

Etapa 3.11.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Some $- 36$ e $48$ .

$f (6) = 12 - 5$

Etapa 3.11.2.2

Subtraia $5$ de $12$ .

$f (6) = 7$

Etapa 3.11.3

A resposta final é $7$ .

$7$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = 6$ é $7$ .

$y = 7$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 7 \\ 3 & 10 \\ 4 & 11 \\ 5 & 10 \\ 6 & 7 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(4, 11)$

Foco: $(4, \frac{43}{4})$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = \frac{45}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 7 \\ 3 & 10 \\ 4 & 11 \\ 5 & 10 \\ 6 & 7 \end{array}$

Etapa 5