Trigonometria Exemplos

${(x + 1)}^{2} + {(v - 4)}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia ${(v - 4)}^{2}$ dos dois lados da equação.

${(x + 1)}^{2} = {(x + 3)}^{2} - {(v - 4)}^{2}$

Etapa 1.2

Subtraia ${(x + 3)}^{2}$ dos dois lados da equação.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - {(v - 4)}^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique $- {(v - 4)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva ${(v - 4)}^{2}$ como $(v - 4) (v - 4)$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - ((v - 4) (v - 4))$

Etapa 1.3.2

Expanda $(v - 4) (v - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v (v - 4) - 4 (v - 4))$

Etapa 1.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v \cdot v + v \cdot - 4 - 4 (v - 4))$

Etapa 1.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v \cdot v + v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Etapa 1.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $v$ por $v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} + v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Etapa 1.3.3.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 4 \cdot v - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Etapa 1.3.3.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 4 v - 4 v + 16)$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $4 v$ de $- 4 v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 8 v + 16)$

Etapa 1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} - (- 8 v) - 1 \cdot 16$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} + 8 v - 1 \cdot 16$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} + 8 v - 16$

Etapa 1.4

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Some $v^{2}$ aos dois lados da equação.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} = 8 v - 16$

Etapa 1.4.1.2

Subtraia $8 v$ dos dois lados da equação.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v = - 16$

Etapa 1.4.1.3

Some $16$ aos dois lados da equação.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2

Simplifique ${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.2

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + 1) + 1 (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.3.2

Some $x$ e $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.4

Reescreva ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - ((x + 3) (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.5

Expanda $(x + 3) (x + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.6.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.6.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.6.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 6 x + 9) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.8.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.1.8.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.2

Combine os termos opostos em $x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 x + 1 + 0 - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$2 x + 1 - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.3

Subtraia $6 x$ de $2 x$ .

$- 4 x + 1 - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.4

Subtraia $9$ de $1$ .

$- 4 x - 8 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Etapa 1.4.2.5

Some $- 8$ e $16$ .

$- 4 x + v^{2} - 8 v + 8 = 0$

Etapa 1.5

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Subtraia $v^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 4 x - 8 v + 8 = - v^{2}$

Etapa 1.5.2

Some $8 v$ aos dois lados da equação.

$- 4 x + 8 = - v^{2} + 8 v$

Etapa 1.5.3

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$

Etapa 1.6

Divida cada termo em $- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Divida cada termo em $- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 1.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 1.6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 1.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{v^{2}}{4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 1.6.3.1.2

Cancele o fator comum de $8$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1.2.1

Fatore $4$ de $8 v$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} + \frac{4 (2 v)}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 1.6.3.1.2.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 v}{- 1}$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 1 \cdot (2 v) + \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 1.6.3.1.3

Reescreva $- 1 \cdot (2 v)$ como $- (2 v)$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - (2 v) + \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 1.6.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 2 v + \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 1.6.3.1.5

Divida $- 8$ por $- 4$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 2 v + 2$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $- v^{2} + 8 v - 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 8$

$c = - 16$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 16 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$e = - 16 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = - 16 - \frac{64}{- 4}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida $64$ por $- 4$ .

$e = - 16 - - 16$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$e = - 16 + 16$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Some $- 16$ e $16$ .

$e = 0$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(v - 4)}^{2} + 0$ .

$- {(v - 4)}^{2} + 0$

Etapa 2.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - {(v - 4)}^{2} + 0$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(v - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 0$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(4, 0)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.3

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, - \frac{1}{4})$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$v = 4$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{1}{4}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(4, 0)$

Foco: $(4, - \frac{1}{4})$

Eixo de simetria: $v = 4$

Diretriz: $y = \frac{1}{4}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(4, 0)$

Foco: $(4, - \frac{1}{4})$

Eixo de simetria: $v = 4$

Diretriz: $y = \frac{1}{4}$

Etapa 3