Trigonometria Exemplos

$18 \cos (π x + \frac{1}{2})$

Etapa 1

Use a forma $a \cos (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 18$

$b = π$

$c = - \frac{1}{2}$

$d = 0$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $18$

Etapa 3

Encontre o período de $18 \cos (π x + \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2

Substitua $b$ por $π$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| π |}$

Etapa 3.3

$π$ é aproximadamente $3.14159265$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{π}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{π}$

Etapa 3.4.2

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{- \frac{1}{2}}{π}$

Etapa 4.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Etapa 4.4

Multiplique $\frac{1}{π}$ por $\frac{1}{2}$ .

Mudança de fase: $- \frac{1}{π \cdot 2}$

Etapa 4.5

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

Mudança de fase: $- \frac{1}{2 π}$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $18$

Período: $2$

Mudança de fase: $- \frac{1}{2 π}$ ( $\frac{1}{2 π}$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: nenhum

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = - \frac{1}{2 π}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2 π}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 π}$ para o numerador.

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{- 1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.1.2.1.1.2

Fatore $π$ de $2 π$ .

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{- 1}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.1.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.1.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{- 1 + 1}{2})$

Etapa 6.1.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{0}{2})$

Etapa 6.1.2.2.2.2

Divida $0$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (0)$

Etapa 6.1.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cdot 1$

Etapa 6.1.2.4

Multiplique $18$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18$

Etapa 6.1.2.5

A resposta final é $18$ .

$18$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{1}{2}) + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.2.1.2

Combine $π$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2} + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 π}$ para o numerador.

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2} + π (\frac{- 1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Fatore $π$ de $2 π$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2} + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2} + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2} + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π - 1 + 1}{2})$

Etapa 6.2.2.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π + 0}{2})$

Etapa 6.2.2.2.2.2

Some $π$ e $0$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 6.2.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cdot 0$

Etapa 6.2.2.4

Multiplique $18$ por $0$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 0$

Etapa 6.2.2.5

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = 1 - \frac{1}{2 π}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $1 - \frac{1}{2 π}$ na expressão.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (1 - \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π \cdot 1 + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.3.2.1.2

Multiplique $π$ por $1$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 π}$ para o numerador.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + π (\frac{- 1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.3.2.1.3.2

Fatore $π$ de $2 π$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.3.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.3.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.3.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.3.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + \frac{- 1 + 1}{2})$

Etapa 6.3.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + \frac{0}{2})$

Etapa 6.3.2.2.2.2

Divida $0$ por $2$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + 0)$

Etapa 6.3.2.2.2.3

Some $π$ e $0$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π)$

Etapa 6.3.2.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 (- \cos (0))$

Etapa 6.3.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 6.3.2.5

Multiplique $18 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cdot - 1$

Etapa 6.3.2.5.2

Multiplique $18$ por $- 1$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = - 18$

Etapa 6.3.2.6

A resposta final é $- 18$ .

$- 18$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}$ na expressão.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{3}{2}) + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.4.2.1.2

Combine $π$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 π}$ para o numerador.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + π (\frac{- 1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.4.2.1.3.2

Fatore $π$ de $2 π$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.4.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.4.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.4.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.4.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{3 \cdot π}{2} + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.4.2.1.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.4.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{3 π - 1 + 1}{2})$

Etapa 6.4.2.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{3 π + 0}{2})$

Etapa 6.4.2.2.2.2

Some $3 π$ e $0$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{3 π}{2})$

Etapa 6.4.2.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 6.4.2.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cdot 0$

Etapa 6.4.2.5

Multiplique $18$ por $0$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 0$

Etapa 6.4.2.6

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = 2 - \frac{1}{2 π}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $2 - \frac{1}{2 π}$ na expressão.

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (2 - \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π \cdot 2 + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.5.2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 \cdot π + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.5.2.1.3

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 π}$ para o numerador.

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 \cdot π + π (\frac{- 1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.5.2.1.3.2

Fatore $π$ de $2 π$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 \cdot π + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.5.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 \cdot π + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Etapa 6.5.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 \cdot π + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.5.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 π - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.5.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 π + \frac{- 1 + 1}{2})$

Etapa 6.5.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 π + \frac{0}{2})$

Etapa 6.5.2.2.2.2

Divida $0$ por $2$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 π + 0)$

Etapa 6.5.2.2.2.3

Some $2 π$ e $0$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 π)$

Etapa 6.5.2.3

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (0)$

Etapa 6.5.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cdot 1$

Etapa 6.5.2.5

Multiplique $18$ por $1$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18$

Etapa 6.5.2.6

A resposta final é $18$ .

$18$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{1}{2 π} & 18 \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2 π} & 0 \\ 1 - \frac{1}{2 π} & - 18 \\ \frac{3}{2} - \frac{1}{2 π} & 0 \\ 2 - \frac{1}{2 π} & 18 \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $18$

Período: $2$

Mudança de fase: $- \frac{1}{2 π}$ ( $\frac{1}{2 π}$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: nenhum

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{1}{2 π} & 18 \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2 π} & 0 \\ 1 - \frac{1}{2 π} & - 18 \\ \frac{3}{2} - \frac{1}{2 π} & 0 \\ 2 - \frac{1}{2 π} & 18 \end{array}$

Etapa 8