Trigonometria Exemplos

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 < 0$

Etapa 1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $5$ de $5 \cos (3 x)$ .

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 = 0$

Etapa 1.1.2

Reescreva $5$ como $- 1$ mais $6$

$2 \cos^{2} (3 x) + (- 1 + 6) \cos (3 x) - 3 = 0$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Etapa 1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\cos (3 x) (2 \cos (3 x) - 1) + 3 (2 \cos (3 x) - 1) = 0$

Etapa 1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 \cos (3 x) - 1$ .

$(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Etapa 3

Defina $2 \cos (3 x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $2 \cos (3 x) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $2 \cos (3 x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \cos (3 x) = 1$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (3 x) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (3 x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $\cos (3 x)$ por $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$3 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{3}$

Etapa 3.2.5

Divida cada termo em $3 x = \frac{π}{3}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.5.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Etapa 3.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Etapa 3.2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Etapa 3.2.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 3.2.5.3.2

Multiplique $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 3.2.5.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.2.5.3.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

Etapa 3.2.6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$3 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 3.2.7

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.7.1

Simplifique.

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Etapa 3.2.7.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 3.2.7.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 3.2.7.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 3.2.7.1.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$3 x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 3.2.7.1.5

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$3 x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 3.2.7.2

Divida cada termo em $3 x = \frac{5 π}{3}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.7.2.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{5 π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Etapa 3.2.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.7.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Etapa 3.2.7.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Etapa 3.2.7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.7.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 3.2.7.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 3.2.7.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.2.7.2.3.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$x = \frac{5 π}{9}$

Etapa 3.2.8

Encontre o período de $\cos (3 x)$ .

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Etapa 3.2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.8.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Etapa 3.2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 3.2.9

O período da função $\cos (3 x)$ é $\frac{2 π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{2 π}{3}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\cos (3 x) + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\cos (3 x) + 3$ como igual a $0$ .

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cos (3 x) + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$\cos (3 x) = - 3$

Etapa 4.2.2

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 3$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$

Etapa 7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 7.1.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$2 \cos^{2} (3 (1)) + 5 \cos (3 (1)) - 3 < 0$

Etapa 7.1.3

O lado esquerdo $- 5.98979219$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.2

Teste um valor no intervalo $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 7.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$2 \cos^{2} (3 (2)) + 5 \cos (3 (2)) - 3 < 0$

Etapa 7.2.3

O lado esquerdo $3.64470539$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.3

Teste um valor no intervalo $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 7.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$2 \cos^{2} (3 (3)) + 5 \cos (3 (3)) - 3 < 0$

Etapa 7.3.3

O lado esquerdo $- 5.8953346$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Verdadeiro

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Falso

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Verdadeiro

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Verdadeiro

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Falso

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Verdadeiro

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ ou $\frac{7 π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{11 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9