Trigonometria Exemplos

$16 {(x - 3)}^{2} = 64 - y^{2}$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$16 {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 64$

Etapa 1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$16 ((x - 3) (x - 3)) + y^{2} = 64$

Etapa 1.1.2.2

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) + y^{2} = 64$

Etapa 1.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) + y^{2} = 64$

Etapa 1.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + y^{2} = 64$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$16 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + y^{2} = 64$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$16 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) + y^{2} = 64$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$16 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) + y^{2} = 64$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$16 (x^{2} - 6 x + 9) + y^{2} = 64$

Etapa 1.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$16 x^{2} + 16 (- 6 x) + 16 \cdot 9 + y^{2} = 64$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Multiplique $- 6$ por $16$ .

$16 x^{2} - 96 x + 16 \cdot 9 + y^{2} = 64$

Etapa 1.1.2.5.2

Multiplique $16$ por $9$ .

$16 x^{2} - 96 x + 144 + y^{2} = 64$

Etapa 1.1.3

Mova $144$ .

$16 x^{2} - 96 x + y^{2} + 144 = 64$

Etapa 1.1.4

Mova $- 96 x$ .

$16 x^{2} + y^{2} - 96 x + 144 = 64$

Etapa 1.2

Mova todos os termos que não contêm uma variável para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $144$ dos dois lados da equação.

$16 x^{2} + y^{2} - 96 x = 64 - 144$

Etapa 1.2.2

Subtraia $144$ de $64$ .

$16 x^{2} + y^{2} - 96 x = - 80$

Etapa 1.3

Complete o quadrado de $16 x^{2} - 96 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = - 96$

$c = 0$

Etapa 1.3.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.3.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 96}{2 \cdot 16}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 96$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 96$ .

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 \cdot 16}$

Etapa 1.3.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 (16)}$

Etapa 1.3.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 48}{2 \cdot 16}$

Etapa 1.3.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 48}{16}$

Etapa 1.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 48$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Fatore $16$ de $- 48$ .

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16}$

Etapa 1.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.2.1

Fatore $16$ de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16 (1)}$

Etapa 1.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{16 \cdot - 3}{16 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 3}{1}$

Etapa 1.3.3.2.2.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$d = - 3$

Etapa 1.3.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 96)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Eleve $- 96$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{9216}{4 \cdot 16}$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $16$ .

$e = 0 - \frac{9216}{64}$

Etapa 1.3.4.2.1.3

Divida $9216$ por $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Etapa 1.3.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $144$ .

$e = 0 - 144$

Etapa 1.3.4.2.2

Subtraia $144$ de $0$ .

$e = - 144$

Etapa 1.3.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $16 {(x - 3)}^{2} - 144$ .

$16 {(x - 3)}^{2} - 144$

Etapa 1.4

Substitua $16 {(x - 3)}^{2} - 144$ por $16 x^{2} - 96 x$ na equação $16 x^{2} + y^{2} - 96 x = - 80$ .

$16 {(x - 3)}^{2} - 144 + y^{2} = - 80$

Etapa 1.5

Mova $- 144$ para o lado direito da equação, somando $144$ aos dois lados.

$16 {(x - 3)}^{2} + y^{2} = - 80 + 144$

Etapa 1.6

Some $- 80$ e $144$ .

$16 {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 64$

Etapa 1.7

Divida cada termo por $64$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{16 {(x - 3)}^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Etapa 1.8

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 8$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 3$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(3, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(8)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\sqrt{64 - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{64 - 1 \cdot 4}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{64 - 4}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $4$ de $64$ .

$\sqrt{60}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Fatore $4$ de $60$ .

$\sqrt{4 (15)}$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 15}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 \sqrt{15}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(3, 0 + 8)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(3, 8)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(3, 0 - (8))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(3, - 8)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(3, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 8)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(3, 0 + 2 \sqrt{15})$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(3, 2 \sqrt{15})$

Etapa 7.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(3, 0 - (2 \sqrt{15}))$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(3, - 2 \sqrt{15})$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(3, 2 \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(3, - 2 \sqrt{15})$

${Focus}_{1}$ : $(3, 2 \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(3, - 2 \sqrt{15})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} - {(2)}^{2}}}{8}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 2^{2}}}{8}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 1 \cdot 4}}{8}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{64 - 4}}{8}$

Etapa 8.3.1.4

Subtraia $4$ de $64$ .

$\frac{\sqrt{60}}{8}$

Etapa 8.3.1.5

Reescreva $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.5.1

Fatore $4$ de $60$ .

$\frac{\sqrt{4 (15)}}{8}$

Etapa 8.3.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 15}}{8}$

Etapa 8.3.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{15}}{8}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{15}$ .

$\frac{2 (\sqrt{15})}{8}$

Etapa 8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \sqrt{15}}{2 \cdot 4}$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{15}}{2 \cdot 4}$

Etapa 8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{15}}{4}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(3, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 2 \sqrt{15})$

${Focus}_{2}$ : $(3, - 2 \sqrt{15})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{15}}{4}$

Etapa 10