Trigonometria Exemplos

$12 x^{2} = - 20 y^{2} + 12 x - 40 y + 13$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Some $20 y^{2}$ aos dois lados da equação.

$12 x^{2} + 20 y^{2} = 12 x - 40 y + 13$

Etapa 1.1.2

Subtraia $12 x$ dos dois lados da equação.

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x = - 40 y + 13$

Etapa 1.1.3

Some $40 y$ aos dois lados da equação.

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 13$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $12 x^{2} - 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 12$

$b = - 12$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 12}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (12)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 6}{12}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $6$ de $- 6$ .

$d = \frac{6 (- 1)}{12}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 12}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(- 12)}^{2}$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (12))}^{2}}{4 \cdot 12}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.4

Multiplique $12^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 12}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.5

Fatore $12$ de $12^{2}$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{4 \cdot 12}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.6.1

Fatore $12$ de $4 \cdot 12$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{12}{4}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{3}{1}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e = 0 - 3$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$e = - 3$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$

Etapa 1.3

Substitua $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ por $12 x^{2} - 12 x$ na equação $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 13$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 + 20 y^{2} + 40 y = 13$

Etapa 1.4

Mova $- 3$ para o lado direito da equação, somando $3$ aos dois lados.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 y^{2} + 40 y = 13 + 3$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $20 y^{2} + 40 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 20$

$b = 40$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot 20}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $40$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 20$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (20)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{20}{20}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{20}{20}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 20}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $40$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 20}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $20$ .

$e = 0 - \frac{1600}{80}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $1600$ por $80$ .

$e = 0 - 1 \cdot 20$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$e = 0 - 20$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $20$ de $0$ .

$e = - 20$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ .

$20 {(y + 1)}^{2} - 20$

Etapa 1.6

Substitua $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ por $20 y^{2} + 40 y$ na equação $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 13$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} - 20 = 13 + 3$

Etapa 1.7

Mova $- 20$ para o lado direito da equação, somando $20$ aos dois lados.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 13 + 3 + 20$

Etapa 1.8

Simplifique $13 + 3 + 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $13$ e $3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 16 + 20$

Etapa 1.8.2

Some $16$ e $20$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 36$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $36$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{12 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{36} + \frac{20 {(y + 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{3} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{\frac{9}{5}} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \sqrt{3}$

$b = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

$k = - 1$

$h = \frac{1}{2}$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(\frac{1}{2}, - 1)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{3^{1} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{3 - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{3 - \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{3 - \frac{3^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{3 - \frac{9 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{3 - \frac{9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Etapa 5.3.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{3 - \frac{9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Etapa 5.3.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{3 - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Etapa 5.3.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{3 - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Etapa 5.3.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{3 - \frac{9 \cdot 5^{1}}{5^{2}}}$

Etapa 5.3.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{3 - \frac{9 \cdot 5}{5^{2}}}$

Etapa 5.3.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{3 - \frac{9 \cdot 5}{25}}$

Etapa 5.3.4.2

Multiplique $9$ por $5$ .

$\sqrt{3 - \frac{45}{25}}$

Etapa 5.3.4.3

Cancele o fator comum de $45$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.3.1

Fatore $5$ de $45$ .

$\sqrt{3 - \frac{5 (9)}{25}}$

Etapa 5.3.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.3.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\sqrt{3 - \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 5}}$

Etapa 5.3.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{3 - \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 5}}$

Etapa 5.3.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{3 - \frac{9}{5}}$

Etapa 5.3.5

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{3 \cdot \frac{5}{5} - \frac{9}{5}}$

Etapa 5.3.6

Combine $3$ e $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 5}{5} - \frac{9}{5}}$

Etapa 5.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 5 - 9}{5}}$

Etapa 5.3.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{15 - 9}{5}}$

Etapa 5.3.8.2

Subtraia $9$ de $15$ .

$\sqrt{\frac{6}{5}}$

Etapa 5.3.9

Reescreva $\sqrt{\frac{6}{5}}$ como $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.3.10

Multiplique $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.3.11

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.11.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 5.3.11.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 5.3.11.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 5.3.11.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.3.11.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 5.3.11.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.11.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.11.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.11.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.11.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.11.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.11.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 5.3.11.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.3.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.12.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 5}}{5}$

Etapa 5.3.12.2

Multiplique $6$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(\frac{1}{2} + \sqrt{3}, - 1)$

Etapa 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(\frac{1}{2} - (\sqrt{3}), - 1)$

Etapa 6.5

Simplifique.

$(\frac{1}{2} - \sqrt{3}, - 1)$

Etapa 6.6

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2} + \sqrt{3}, - 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{1}{2} - \sqrt{3}, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2} + \sqrt{3}, - 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{1}{2} - \sqrt{3}, - 1)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{30}}{5}, - 1)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(\frac{1}{2} - (\frac{\sqrt{30}}{5}), - 1)$

Etapa 7.5

Simplifique.

$(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{30}}{5}, - 1)$

Etapa 7.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{30}}{5}, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{30}}{5}, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{30}}{5}, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{30}}{5}, - 1)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3^{1} - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{3 - {(\frac{3 \sqrt{5}}{5})}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{\sqrt{3 - \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{3 - \frac{3^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{3 - \frac{9 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.3.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 - \frac{9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3 - \frac{9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3 - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3 - \frac{9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3 - \frac{9 \cdot 5^{1}}{5^{2}}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.3.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{3 - \frac{9 \cdot 5}{5^{2}}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{3 - \frac{9 \cdot 5}{25}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.5

Multiplique $9$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{3 - \frac{45}{25}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.6

Cancele o fator comum de $45$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.6.1

Fatore $5$ de $45$ .

$\frac{\sqrt{3 - \frac{5 (9)}{25}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.6.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{\sqrt{3 - \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 5}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3 - \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 5}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3 - \frac{9}{5}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.7

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{3 \cdot \frac{5}{5} - \frac{9}{5}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.8

Combine $3$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 5}{5} - \frac{9}{5}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 5 - 9}{5}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.10.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{\frac{15 - 9}{5}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.10.2

Subtraia $9$ de $15$ .

$\frac{\sqrt{\frac{6}{5}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.11

Reescreva $\sqrt{\frac{6}{5}}$ como $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.12

Multiplique $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.13

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.13.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.13.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.13.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.13.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.13.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.13.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.13.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.13.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.13.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.13.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.13.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.13.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{1}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.13.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.14

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.14.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\frac{\sqrt{6 \cdot 5}}{5}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.1.14.2

Multiplique $6$ por $5$ .

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{5}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{30}}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5} (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 8.3.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 8.3.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 8.3.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 8.3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 8.3.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 8.3.4.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 8.3.5

Multiplique $\frac{\sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{30}}{5}$ por $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{30} \sqrt{3}}{5 \cdot 3}$

Etapa 8.3.5.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{30 \cdot 3}}{5 \cdot 3}$

Etapa 8.3.5.3

Multiplique $30$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{90}}{5 \cdot 3}$

Etapa 8.3.5.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{90}}{15}$

Etapa 8.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.6.1

Reescreva $90$ como $3^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.6.1.1

Fatore $9$ de $90$ .

$\frac{\sqrt{9 (10)}}{15}$

Etapa 8.3.6.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 10}}{15}$

Etapa 8.3.6.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{10}}{15}$

Etapa 8.3.7

Cancele o fator comum de $3$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{10}$ .

$\frac{3 (\sqrt{10})}{15}$

Etapa 8.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$\frac{3 \sqrt{10}}{3 \cdot 5}$

Etapa 8.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{10}}{3 \cdot 5}$

Etapa 8.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(\frac{1}{2}, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2} + \sqrt{3}, - 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{1}{2} - \sqrt{3}, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{30}}{5}, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{30}}{5}, - 1)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 10