Trigonometria Exemplos

$63 x^{2} - 252 x + 36 y^{2} - 72 y = - 18$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Complete o quadrado de $63 x^{2} - 252 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 63$

$b = - 252$

$c = 0$

Etapa 1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 252}{2 \cdot 63}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 252$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 252$ .

$d = \frac{2 \cdot - 126}{2 \cdot 63}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 63$ .

$d = \frac{2 \cdot - 126}{2 (63)}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 126}{2 \cdot 63}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 126}{63}$

Etapa 1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 126$ e $63$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.1

Fatore $63$ de $- 126$ .

$d = \frac{63 \cdot - 2}{63}$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.2.1

Fatore $63$ de $63$ .

$d = \frac{63 \cdot - 2}{63 (1)}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{63 \cdot - 2}{63 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Etapa 1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 252)}^{2}}{4 \cdot 63}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Eleve $- 252$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{63504}{4 \cdot 63}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $63$ .

$e = 0 - \frac{63504}{252}$

Etapa 1.1.4.2.1.3

Divida $63504$ por $252$ .

$e = 0 - 1 \cdot 252$

Etapa 1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $252$ .

$e = 0 - 252$

Etapa 1.1.4.2.2

Subtraia $252$ de $0$ .

$e = - 252$

Etapa 1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $63 {(x - 2)}^{2} - 252$ .

$63 {(x - 2)}^{2} - 252$

Etapa 1.2

Substitua $63 {(x - 2)}^{2} - 252$ por $63 x^{2} - 252 x$ na equação $63 x^{2} - 252 x + 36 y^{2} - 72 y = - 18$ .

$63 {(x - 2)}^{2} - 252 + 36 y^{2} - 72 y = - 18$

Etapa 1.3

Mova $- 252$ para o lado direito da equação, somando $252$ aos dois lados.

$63 {(x - 2)}^{2} + 36 y^{2} - 72 y = - 18 + 252$

Etapa 1.4

Complete o quadrado de $36 y^{2} - 72 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 36$

$b = - 72$

$c = 0$

Etapa 1.4.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.4.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 72}{2 \cdot 36}$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 72$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 72$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 36}$

Etapa 1.4.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (36)}$

Etapa 1.4.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 36}$

Etapa 1.4.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 36}{36}$

Etapa 1.4.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 36$ e $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.2.1

Fatore $36$ de $- 36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 1}{36}$

Etapa 1.4.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.2.2.1

Fatore $36$ de $36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 1}{36 (1)}$

Etapa 1.4.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{36 \cdot - 1}{36 \cdot 1}$

Etapa 1.4.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.4.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 1.4.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot 36}$

Etapa 1.4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1.1

Eleve $- 72$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 36}$

Etapa 1.4.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $36$ .

$e = 0 - \frac{5184}{144}$

Etapa 1.4.4.2.1.3

Divida $5184$ por $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Etapa 1.4.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$e = 0 - 36$

Etapa 1.4.4.2.2

Subtraia $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Etapa 1.4.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $36 {(y - 1)}^{2} - 36$ .

$36 {(y - 1)}^{2} - 36$

Etapa 1.5

Substitua $36 {(y - 1)}^{2} - 36$ por $36 y^{2} - 72 y$ na equação $63 x^{2} - 252 x + 36 y^{2} - 72 y = - 18$ .

$63 {(x - 2)}^{2} + 36 {(y - 1)}^{2} - 36 = - 18 + 252$

Etapa 1.6

Mova $- 36$ para o lado direito da equação, somando $36$ aos dois lados.

$63 {(x - 2)}^{2} + 36 {(y - 1)}^{2} = - 18 + 252 + 36$

Etapa 1.7

Simplifique $- 18 + 252 + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Some $- 18$ e $252$ .

$63 {(x - 2)}^{2} + 36 {(y - 1)}^{2} = 234 + 36$

Etapa 1.7.2

Some $234$ e $36$ .

$63 {(x - 2)}^{2} + 36 {(y - 1)}^{2} = 270$

Etapa 1.8

Divida cada termo por $270$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{63 {(x - 2)}^{2}}{270} + \frac{36 {(y - 1)}^{2}}{270} = \frac{270}{270}$

Etapa 1.9

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{\frac{30}{7}} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{\frac{15}{2}} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \frac{\sqrt{30}}{2}$

$b = \frac{\sqrt{210}}{7}$

$k = 1$

$h = 2$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(2, 1)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{30}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{30}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{30^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{30}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{30}{4} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $30$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Fatore $2$ de $30$ .

$\sqrt{\frac{2 (15)}{4} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{15}{2} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}$

Etapa 5.3.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{210}}{7}$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{{\sqrt{210}}^{2}}{7^{2}}}$

Etapa 5.3.6

Reescreva ${\sqrt{210}}^{2}$ como $210$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{210}$ como $210^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{{(210^{\frac{1}{2}})}^{2}}{7^{2}}}$

Etapa 5.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{210^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{7^{2}}}$

Etapa 5.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{210^{\frac{2}{2}}}{7^{2}}}$

Etapa 5.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{210^{\frac{2}{2}}}{7^{2}}}$

Etapa 5.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{210^{1}}{7^{2}}}$

Etapa 5.3.6.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{210}{7^{2}}}$

Etapa 5.3.7

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{210}{49}}$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $210$ e $49$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Fatore $7$ de $210$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{7 (30)}{49}}$

Etapa 5.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.2.1

Fatore $7$ de $49$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{7 \cdot 30}{7 \cdot 7}}$

Etapa 5.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{7 \cdot 30}{7 \cdot 7}}$

Etapa 5.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{30}{7}}$

Etapa 5.3.9

Para escrever $\frac{15}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{30}{7}}$

Etapa 5.3.10

Para escrever $- \frac{30}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{30}{7} \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 5.3.11

Escreva cada expressão com um denominador comum de $14$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.11.1

Multiplique $\frac{15}{2}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\sqrt{\frac{15 \cdot 7}{2 \cdot 7} - \frac{30}{7} \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 5.3.11.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$\sqrt{\frac{15 \cdot 7}{14} - \frac{30}{7} \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 5.3.11.3

Multiplique $\frac{30}{7}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{15 \cdot 7}{14} - \frac{30 \cdot 2}{7 \cdot 2}}$

Etapa 5.3.11.4

Multiplique $7$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{15 \cdot 7}{14} - \frac{30 \cdot 2}{14}}$

Etapa 5.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{15 \cdot 7 - 30 \cdot 2}{14}}$

Etapa 5.3.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.13.1

Multiplique $15$ por $7$ .

$\sqrt{\frac{105 - 30 \cdot 2}{14}}$

Etapa 5.3.13.2

Multiplique $- 30$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{105 - 60}{14}}$

Etapa 5.3.13.3

Subtraia $60$ de $105$ .

$\sqrt{\frac{45}{14}}$

Etapa 5.3.14

Reescreva $\sqrt{\frac{45}{14}}$ como $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{14}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{14}}$

Etapa 5.3.15

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.15.1

Reescreva $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.15.1.1

Fatore $9$ de $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{14}}$

Etapa 5.3.15.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{14}}$

Etapa 5.3.15.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$

Etapa 5.3.16

Multiplique $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$ por $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$

Etapa 5.3.17

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.17.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$ por $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{\sqrt{14} \sqrt{14}}$

Etapa 5.3.17.2

Eleve $\sqrt{14}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1} \sqrt{14}}$

Etapa 5.3.17.3

Eleve $\sqrt{14}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1} {\sqrt{14}}^{1}}$

Etapa 5.3.17.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.3.17.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{2}}$

Etapa 5.3.17.6

Reescreva ${\sqrt{14}}^{2}$ como $14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.17.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{14}$ como $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.17.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.17.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.17.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.17.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.17.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{14^{1}}$

Etapa 5.3.17.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{14}$

Etapa 5.3.18

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.18.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 \sqrt{14 \cdot 5}}{14}$

Etapa 5.3.18.2

Multiplique $14$ por $5$ .

$\frac{3 \sqrt{70}}{14}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(2, 1 + \frac{\sqrt{30}}{2})$

Etapa 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(2, 1 - (\frac{\sqrt{30}}{2}))$

Etapa 6.5

Simplifique.

$(2, 1 - \frac{\sqrt{30}}{2})$

Etapa 6.6

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(2, 1 + \frac{\sqrt{30}}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, 1 - \frac{\sqrt{30}}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 1 + \frac{\sqrt{30}}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, 1 - \frac{\sqrt{30}}{2})$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(2, 1 + \frac{3 \sqrt{70}}{14})$

Etapa 7.3

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(2, 1 - (\frac{3 \sqrt{70}}{14}))$

Etapa 7.5

Simplifique.

$(2, 1 - \frac{3 \sqrt{70}}{14})$

Etapa 7.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(2, 1 + \frac{3 \sqrt{70}}{14})$

${Focus}_{2}$ : $(2, 1 - \frac{3 \sqrt{70}}{14})$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1 + \frac{3 \sqrt{70}}{14})$

${Focus}_{2}$ : $(2, 1 - \frac{3 \sqrt{70}}{14})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}}}{\frac{\sqrt{30}}{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{30}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{30}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.3

Reescreva ${\sqrt{30}}^{2}$ como $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{30}$ como $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{30^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.3.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{30}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{30}{4} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.5

Cancele o fator comum de $30$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.5.1

Fatore $2$ de $30$ .

$\sqrt{\frac{2 (15)}{4} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{15}{2} - {(\frac{\sqrt{210}}{7})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.6

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{210}}{7}$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{{\sqrt{210}}^{2}}{7^{2}}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.7

Reescreva ${\sqrt{210}}^{2}$ como $210$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{210}$ como $210^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{{(210^{\frac{1}{2}})}^{2}}{7^{2}}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{210^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{7^{2}}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{210^{\frac{2}{2}}}{7^{2}}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{210^{\frac{2}{2}}}{7^{2}}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{210^{1}}{7^{2}}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.7.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{210}{7^{2}}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.8

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{210}{49}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.9

Cancele o fator comum de $210$ e $49$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.9.1

Fatore $7$ de $210$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{7 (30)}{49}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.9.2.1

Fatore $7$ de $49$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{7 \cdot 30}{7 \cdot 7}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{7 \cdot 30}{7 \cdot 7}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{15}{2} - \frac{30}{7}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.10

Para escrever $\frac{15}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{30}{7}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.11

Para escrever $- \frac{30}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{30}{7} \cdot \frac{2}{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.12

Escreva cada expressão com um denominador comum de $14$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.12.1

Multiplique $\frac{15}{2}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\sqrt{\frac{15 \cdot 7}{2 \cdot 7} - \frac{30}{7} \cdot \frac{2}{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.12.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$\sqrt{\frac{15 \cdot 7}{14} - \frac{30}{7} \cdot \frac{2}{2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.12.3

Multiplique $\frac{30}{7}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{15 \cdot 7}{14} - \frac{30 \cdot 2}{7 \cdot 2}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.12.4

Multiplique $7$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{15 \cdot 7}{14} - \frac{30 \cdot 2}{14}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{15 \cdot 7 - 30 \cdot 2}{14}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.14

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.14.1

Multiplique $15$ por $7$ .

$\sqrt{\frac{105 - 30 \cdot 2}{14}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.14.2

Multiplique $- 30$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{105 - 60}{14}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.14.3

Subtraia $60$ de $105$ .

$\sqrt{\frac{45}{14}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.15

Reescreva $\sqrt{\frac{45}{14}}$ como $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{14}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{14}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.16

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.16.1

Reescreva $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.16.1.1

Fatore $9$ de $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{14}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.16.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{14}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.16.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.17

Multiplique $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$ por $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.18

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.18.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$ por $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{\sqrt{14} \sqrt{14}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.18.2

Eleve $\sqrt{14}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1} \sqrt{14}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.18.3

Eleve $\sqrt{14}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1} {\sqrt{14}}^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.18.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.18.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.18.6

Reescreva ${\sqrt{14}}^{2}$ como $14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.18.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{14}$ como $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.18.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{14^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.18.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.18.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.18.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.18.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{14^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.18.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{14} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.19

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.19.1

Fatore $2$ de $14$ .

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{2 (7)} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.19.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{2 \cdot 7} \cdot \frac{2}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.19.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sqrt{5} \sqrt{14}}{7} \cdot \frac{1}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.20

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 \sqrt{14 \cdot 5}}{7} \cdot \frac{1}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.21

Multiplique $14$ por $5$ .

$\frac{3 \sqrt{70}}{7} \cdot \frac{1}{\sqrt{30}}$

Etapa 8.3.22

Multiplique $\frac{3 \sqrt{70}}{7}$ por $\frac{1}{\sqrt{30}}$ .

$\frac{3 \sqrt{70}}{7 \sqrt{30}}$

Etapa 8.3.23

Combine $\sqrt{70}$ e $\sqrt{30}$ em um único radical.

$\frac{3 \sqrt{\frac{70}{30}}}{7}$

Etapa 8.3.24

Cancele o fator comum de $70$ e $30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.24.1

Fatore $10$ de $70$ .

$\frac{3 \sqrt{\frac{10 (7)}{30}}}{7}$

Etapa 8.3.24.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.24.2.1

Fatore $10$ de $30$ .

$\frac{3 \sqrt{\frac{10 \cdot 7}{10 \cdot 3}}}{7}$

Etapa 8.3.24.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{\frac{10 \cdot 7}{10 \cdot 3}}}{7}$

Etapa 8.3.24.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sqrt{\frac{7}{3}}}{7}$

Etapa 8.3.25

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.25.1

Reescreva $\sqrt{\frac{7}{3}}$ como $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3 \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}{7}$

Etapa 8.3.25.2

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{7}$

Etapa 8.3.25.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.25.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3 \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{7}$

Etapa 8.3.25.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{7}$

Etapa 8.3.25.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{7}$

Etapa 8.3.25.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{7}$

Etapa 8.3.25.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{7}$

Etapa 8.3.25.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.25.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{7}$

Etapa 8.3.25.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{7}$

Etapa 8.3.25.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{7}$

Etapa 8.3.25.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.25.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{7}$

Etapa 8.3.25.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}}{7}$

Etapa 8.3.25.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}}{7}$

Etapa 8.3.25.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.25.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}}{7}$

Etapa 8.3.25.4.2

Multiplique $7$ por $3$ .

$\frac{3 \frac{\sqrt{21}}{3}}{7}$

Etapa 8.3.26

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt{21}}{3}}{7}$

Etapa 8.3.27

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.27.1

Reduza a expressão $\frac{3 \sqrt{21}}{3}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.27.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{3 \sqrt{21}}{3}}{7}$

Etapa 8.3.27.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{\sqrt{21}}{1}}{7}$

Etapa 8.3.27.2

Divida $\sqrt{21}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{21}}{7}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(2, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 1 + \frac{\sqrt{30}}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, 1 - \frac{\sqrt{30}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1 + \frac{3 \sqrt{70}}{14})$

${Focus}_{2}$ : $(2, 1 - \frac{3 \sqrt{70}}{14})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{21}}{7}$

Etapa 10