Trigonometria Exemplos

$2 \sin^{2} (x) > 3 \cos (x)$

Etapa 1

Subtraia $3 \cos (x)$ dos dois lados da desigualdade.

$2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) > 0$

Etapa 2

Substitua $2 \sin^{2} (x)$ por $2 (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) = 0$

Etapa 4

Reordene o polinômio.

$- 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) + 2 = 0$

Etapa 5

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u + 2 = 0$

Etapa 6

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1

Fatore $- 1$ de $- 2 u^{2} - 3 u + 2$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $- 1$ de $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - 3 u + 2 = 0$

Etapa 6.1.2

Fatore $- 1$ de $- 3 u$ .

$- (2 u^{2}) - (3 u) + 2 = 0$

Etapa 6.1.3

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$- (2 u^{2}) - (3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Etapa 6.1.4

Fatore $- 1$ de $- (2 u^{2}) - (3 u)$ .

$- (2 u^{2} + 3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Etapa 6.1.5

Fatore $- 1$ de $- (2 u^{2} + 3 u) - 1 (- 2)$ .

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

Etapa 6.2

Fatore.

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Etapa 6.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Fatore $3$ de $3 u$ .

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

Etapa 6.2.1.1.2

Reescreva $3$ como $- 1$ mais $4$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2) = 0$

Etapa 6.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

Etapa 6.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)) = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 2)) = 0$

Etapa 6.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (2 u - 1) (u + 2) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Etapa 8

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 8.1

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $2 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 8.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u = 1$

Etapa 8.2.2

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 8.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 9

Defina $u + 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 9.1

Defina $u + 2$ como igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$u = - 2$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $- (2 u - 1) (u + 2) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Etapa 11

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 2$

Etapa 12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 2$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 13.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 13.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 13.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 13.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 13.4.2

Combine frações.

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Etapa 13.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 13.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 13.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 13.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Resolva $x$ em $\cos (x) = - 2$ .

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Etapa 14.1

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 2$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 15

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Etapa 17

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 17.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 17.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 17.1.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$2 \sin^{2} (3) > 3 \cos (3)$

Etapa 17.1.3

O lado esquerdo $0.03982971$ é maior do que o lado direito $- 2.96997748$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 17.2

Teste um valor no intervalo $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 17.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 17.2.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$2 \sin^{2} (6) > 3 \cos (6)$

Etapa 17.2.3

O lado esquerdo $0.15614604$ não é maior do que o lado direito $2.88051085$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 17.3

Teste um valor no intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 17.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 9$

Etapa 17.3.2

Substitua $x$ por $9$ na desigualdade original.

$2 \sin^{2} (9) > 3 \cos (9)$

Etapa 17.3.3

O lado esquerdo $0.33968329$ é maior do que o lado direito $- 2.73339078$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 17.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Falso

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Falso

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Verdadeiro

Etapa 18

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{3} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ou $\frac{7 π}{3} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 19