Trigonometria Exemplos

$f (x) = - 2 {(x - 4)}^{2 (x^{2 - 25})}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $- 2 {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ é indefinida.

$x = 0$

Etapa 2

Avalie $lim_{x \to \infty} - 2 {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 lim_{x \to \infty} {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$

Etapa 2.2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 2.2.1

Reescreva ${(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ como $e^{\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})}$ .

$- 2 lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})}$

Etapa 2.2.2

Expanda $\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})$ movendo $\frac{2}{x^{23}}$ para fora do logaritmo.

$- 2 lim_{x \to \infty} e^{\frac{2}{x^{23}} \ln (x - 4)}$

Etapa 2.3

Avalie o limite.

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Etapa 2.3.1

Mova o limite para o expoente.

$- 2 e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{23}} \ln (x - 4)}$

Etapa 2.3.2

Combine $\frac{2}{x^{23}}$ e $\ln (x - 4)$ .

$- 2 e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln (x - 4)}{x^{23}}}$

Etapa 2.3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 4)}{x^{23}}}$

Etapa 2.4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$- 2 e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (x - 4)}{lim_{x \to \infty} x^{23}}}$

Etapa 2.4.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{23}}}$

Etapa 2.4.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 2.4.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 2.4.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 4)}{x^{23}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}$

Etapa 2.4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Etapa 2.4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 4$ .

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Etapa 2.4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Etapa 2.4.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Etapa 2.4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Etapa 2.4.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Etapa 2.4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Etapa 2.4.3.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Etapa 2.4.3.6

Some $1$ e $0$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Etapa 2.4.3.7

Multiplique $\frac{1}{x - 4}$ por $1$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4}}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Etapa 2.4.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 23$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4}}{23 x^{22}}}$

Etapa 2.4.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{1}{23 x^{22}}}$

Etapa 2.4.5

Multiplique $\frac{1}{x - 4}$ por $\frac{1}{23 x^{22}}$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 4) \cdot 23 x^{22}}}$

Etapa 2.5

Mova o termo $\frac{1}{23}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 2 e^{2 (\frac{1}{23}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 4) x^{22}}}$

Etapa 2.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{(x - 4) x^{22}}$ se aproxima de $0$ .

$- 2 e^{2 (\frac{1}{23}) \cdot 0}$

Etapa 2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.7.1

Combine $2$ e $\frac{1}{23}$ .

$- 2 e^{\frac{2}{23} \cdot 0}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $\frac{2}{23}$ por $0$ .

$- 2 e^{0}$

Etapa 2.7.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 2.7.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 3

Liste as assíntotas horizontais:

$y = - 2$

Etapa 4

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 5

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = - 2$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6