Trigonometria Exemplos

$f (x) = 1 - | \cos (2 x) |$

Etapa 1

Encontre o vértice do valor absoluto. Nesse caso, o vértice de $y = 1 - | \cos (2 x) |$ é $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |)$ .

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Etapa 1.1

Para encontrar a coordenada $x$ do vértice, defina o interior do valor absoluto $\cos (2 x)$ igual a $0$ . Nesse caso, $\cos (2 x) = 0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Etapa 1.2

Resolva a equação $\cos (2 x) = 0$ para encontrar a coordenada $x$ do vértice de valor absoluto.

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Etapa 1.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (0)$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.3.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.5

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.5.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.5.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 1.2.5.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.2.5.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.5.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.5.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 1.2.6

Encontre o período de $\cos (2 x)$ .

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Etapa 1.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 1.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 1.2.6.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.2.7

O período da função $\cos (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.8

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ na expressão.

$y = 1 - | \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2})) |$

Etapa 1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 1 - | \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2})) |$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = 1 - | \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2})) |$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y = 1 - | \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2})) |$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y = 1 - | \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2})) |$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$y = 1 - | \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2})) |$

Etapa 1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$y = 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |$

Etapa 1.5

O vértice do valor absoluto é $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |)$ .

$(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |)$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

O valor absoluto pode ser representado graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |),$

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} & 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \end{array}$

Etapa 4