Trigonometria Exemplos

$\tan (x) < 2 \sin (x)$

Etapa 1

Divida cada termo em $\tan (x) < 2 \sin (x)$ por $\tan (x)$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $\tan (x) < 2 \sin (x)$ por $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $\tan (x)$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Separe as frações.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 1.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 < \frac{2}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 1.3.4

Escreva $\sin (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 1.3.5

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 1.3.5.1

Cancele o fator comum.

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 1.3.5.2

Reescreva a expressão.

$1 < \frac{2}{1} \cos (x)$

Etapa 1.3.6

Divida $2$ por $1$ .

$1 < 2 \cos (x)$

Etapa 2

Reescreva de forma que $\cos (x)$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$2 \cos (x) > 1$

Etapa 3

Divida cada termo em $2 \cos (x) > 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) > 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) > \frac{1}{2}$

Etapa 4

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x > \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x > \frac{π}{3}$

Etapa 6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 7

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 7.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 7.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 8

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\tan (x) - 2 \sin (x)$ .

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Etapa 10.1

Defina o argumento em $\tan (x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.31$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $1.31$ na desigualdade original.

$\tan (1.31) < 2 \sin (1.31)$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $3.74708097$ não é menor do que o lado direito $1.9323699$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\tan (3) < 2 \sin (3)$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $- 0.14254654$ é menor do que o lado direito $0.28224001$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\tan (5) < 2 \sin (5)$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $- 3.380515$ é menor do que o lado direito $- 1.91784854$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\tan (6) < 2 \sin (6)$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $- 0.29100619$ não é menor do que o lado direito $- 0.55883099$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.5

Teste um valor no intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.5.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 7.59$

Etapa 12.5.2

Substitua $x$ por $7.59$ na desigualdade original.

$\tan (7.59) < 2 \sin (7.59)$

Etapa 12.5.3

O lado esquerdo $3.69973691$ não é menor do que o lado direito $1.93071743$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.6

Teste um valor no intervalo $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.6.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 9$

Etapa 12.6.2

Substitua $x$ por $9$ na desigualdade original.

$\tan (9) < 2 \sin (9)$

Etapa 12.6.3

O lado esquerdo $- 0.45231565$ é menor do que o lado direito $0.82423697$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.7

Teste um valor no intervalo $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.7.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 11$

Etapa 12.7.2

Substitua $x$ por $11$ na desigualdade original.

$\tan (11) < 2 \sin (11)$

Etapa 12.7.3

O lado esquerdo $- 225.95084645$ é menor do que o lado direito $- 1.99998041$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.8

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Falso

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Falso

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Falso

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Falso

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Verdadeiro

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Etapa 14

Combine os intervalos.

$\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n or \frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n or \frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n or \frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15