Trigonometria Exemplos

$\sin (2 θ - \frac{π}{2}) = - 1$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$2 θ - \frac{π}{2} = \arcsin (- 1)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = - \frac{π}{2}$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $θ$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$2 θ = - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 θ = \frac{- π + π}{2}$

Etapa 3.3

Some $- π$ e $π$ .

$2 θ = \frac{0}{2}$

Etapa 3.4

Divida $0$ por $2$ .

$2 θ = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $2 θ = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 θ = 0$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{0}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$θ = 0$

Etapa 5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$2 θ - \frac{π}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 6.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Etapa 6.3

Resolva $θ$ .

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Etapa 6.3.1

Mova todos os termos que não contêm $θ$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.3.1.1

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$2 θ = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 6.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 θ = \frac{3 π + π}{2}$

Etapa 6.3.1.3

Some $3 π$ e $π$ .

$2 θ = \frac{4 π}{2}$

Etapa 6.3.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 6.3.1.4.1

Fatore $2$ de $4 π$ .

$2 θ = \frac{2 (2 π)}{2}$

Etapa 6.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 θ = \frac{2 (2 π)}{2 (1)}$

Etapa 6.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$2 θ = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$2 θ = \frac{2 π}{1}$

Etapa 6.3.1.4.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 θ = 2 π$

Etapa 6.3.2

Divida cada termo em $2 θ = 2 π$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.3.2.1

Divida cada termo em $2 θ = 2 π$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{2 π}{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{2 π}{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{2 π}{2}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{2 π}{2}$

Etapa 6.3.2.3.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$θ = π$

Etapa 7

Encontre o período de $\sin (2 θ - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 7.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 8

O período da função $\sin (2 θ - \frac{π}{2})$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$θ = π n$ , para qualquer número inteiro $n$