Trigonometria Exemplos

$\tan (2 a) > 1$

Etapa 1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $a$ de dentro da tangente.

$2 a > \arctan (1)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$2 a > \frac{π}{4}$

Etapa 3

Divida cada termo em $2 a > \frac{π}{4}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 a > \frac{π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 a}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 a}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$a > \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$a > \frac{π}{4 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$a > \frac{π}{8}$

Etapa 4

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 a = π + \frac{π}{4}$

Etapa 5

Resolva $a$ .

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 a = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.1.2

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 a = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 a = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 5.1.4

Some $π \cdot 4$ e $π$ .

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Etapa 5.1.4.1

Reordene $π$ e $4$ .

$2 a = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 5.1.4.2

Some $4 \cdot π$ e $π$ .

$2 a = \frac{5 \cdot π}{4}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 a = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 a = \frac{5 \cdot π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$a = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.2.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$a = \frac{5 π}{8}$

Etapa 6

Encontre o período de $\tan (2 a)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 2 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 7

O período da função $\tan (2 a)$ é $\frac{π}{2}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{2}$ radianos nas duas direções.

$a = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

$a = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\tan (2 a) - 1$ .

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Etapa 9.1

Defina o argumento em $\tan (2 a)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 a = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $2 a = \frac{π}{2} + π n$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $2 a = \frac{π}{2} + π n$ por $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 a}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$a = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 9.2.3.1.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 9.2.3.1.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Etapa 9.2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$a = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $a$ que tornam a expressão definida.

${a | a \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$a = 0.59$

Etapa 11.1.2

Substitua $a$ por $0.59$ na desigualdade original.

$\tan (2 (0.59)) > 1$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $2.42726636$ é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$a = 1$

Etapa 11.2.2

Substitua $a$ por $1$ na desigualdade original.

$\tan (2 (1)) > 1$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 2.18503986$ não é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$ Verdadeiro

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$ Falso

$\frac{π}{8} < a < \frac{π}{4}$ Verdadeiro

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{8}$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < a < \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13