Trigonometria Exemplos

$\sin (15) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1

Simplifique $\sin (15) + \tan (30) \cdot \cos (15)$ .

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

O valor exato de $\sin (15)$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.1.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\sin (45 - 30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.1.2

Separar negativação.

$\sin (45 - (30)) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.1.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.1.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.1.6

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.1.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.1.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.1.1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.1.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.1.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.2

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3

O valor exato de $\cos (15)$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.3.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos (45 - 30) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3.2

Separar negativação.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos (45 - (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.3.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.1.3.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.3.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.3.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3 \cdot 4} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.4.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.7

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.8.1

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{18} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.8.2

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 1.1.8.2.1

Fatore $9$ de $18$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.8.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.8.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.1.8.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.2

Para escrever $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 3}{12} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \cdot 3 - \sqrt{2} \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.5.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{6}$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{6} - \sqrt{2} \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.5.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.5.4

Some $3 \sqrt{6}$ e $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.5.5

Some $- 3 \sqrt{2}$ e $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 0}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.5.6

Some $4 \sqrt{6}$ e $0$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

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Etapa 1.6.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{6}$ .

$\frac{4 (\sqrt{6})}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.6.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Etapa 2

Divida $6$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{2}$

Etapa 3