Trigonometria Exemplos

$f (x) = 9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$f (x) = - 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Etapa 2

Fatore $- x$ de $- 9 x^{3} + 4 x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $- x$ de $- 9 x^{3}$ .

$f (x) = - x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Etapa 2.2

Fatore $- x$ de $4 x$ .

$f (x) = - x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Etapa 2.3

Fatore $- x$ de $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ .

$f (x) = - x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Etapa 3

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$f (x) = - x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Etapa 4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = - x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Etapa 5

Fatore.

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Etapa 5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 x$ e $b = 2$ .

$f (x) = - x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Etapa 5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Etapa 6

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24$

Etapa 7

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24$

Etapa 8

Fatore por agrupamento.

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Etapa 8.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ e cuja soma é $b = - 58$ .

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Etapa 8.1.1

Fatore $- 58$ de $- 58 u$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24$

Etapa 8.1.2

Reescreva $- 58$ como $- 4$ mais $- 54$

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24$

Etapa 8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24$

Etapa 8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24$

Etapa 8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4)$

Etapa 8.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 u - 4$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6)$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6)$

Etapa 10

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6)$

Etapa 11

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6)$

Etapa 12

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 x$ e $b = 2$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$

Etapa 13

Fatore $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

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Etapa 13.1

Fatore $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$

Etapa 13.2

Fatore $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6)$

Etapa 14

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6)$

Etapa 15

Fatore $- u + u^{2} - 6$ usando o método AC.

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Etapa 15.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 15.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2))$

Etapa 16

Fatore.

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Etapa 16.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2))$

Etapa 16.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2)$