Trigonometria Exemplos

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Etapa 1

Para escrever $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} \cdot \frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)}$ por $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} \cdot \frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ por $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores de $(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x)) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Etapa 5.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \cdot 1 + \cos (2 x) (- \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Etapa 5.4

Multiplique $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) + \cos (2 x) (- \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Etapa 5.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - \cos (2 x) \cos (2 x)}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Etapa 5.6

Multiplique $- \cos (2 x) \cos (2 x)$ .

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Etapa 5.6.1

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Etapa 5.6.2

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Etapa 5.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - {\cos (2 x)}^{1 + 1}}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Etapa 5.6.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - \cos^{2} (2 x)}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$